Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程.以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，且在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）寫出曲線的參數(shù)方程和直線的普通方程；

（2）過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作與直線相交的直線，該直線與直線所成的銳角為，設(shè)交點(diǎn)為，求的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）， （2）點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)， ，點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)， .

【解析】【試題分析】（1）對(duì)曲線的極坐標(biāo)方程兩邊乘以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，配方得到圓心和半徑，然后直接寫出圓的參數(shù)方程.將直線的參數(shù)方程利用加減消元法消去，可求得直線的普通方程.（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)到直線的距離為，則，由此利用點(diǎn)到直線的距離公式可求得的最大值和最小值，也即是的最大值和最小值.

【試題解析】

（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為，

表示圓心為，半徑為的圓，

化為參數(shù)方程為（為參數(shù)）

直線的普通方程為.

（2）由題知點(diǎn)到直線的距離，

設(shè)點(diǎn).

則有點(diǎn)到直線的距離，

其中， ，

當(dāng)，即時(shí)， ， ，

此時(shí)， ， ；

當(dāng)即時(shí)， ， ，

此時(shí)， ， .

綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)， ，點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)， .