【題目】已知長(zhǎng)方體中, 為的中點(diǎn),如圖所示.

(1) 證明: 平面;

(2) 求平面與平面所成銳二面角的大小的余弦值.

【答案】(1)見解析(2) .

【解析】試題分析：

(1)連接交于,易知,可得平面；

(2) 平面即是平面,過平面上點(diǎn)作的垂線于,過點(diǎn)作直線的垂線于,連接,證明即是平面與平面所成銳二面角的平面角,求解易得結(jié)果；

向量法:(1) 以所在直線分別為軸,以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面的一個(gè)法向量,證明，則可得結(jié)論；

(2)求出平面的一個(gè)法向量,再利用向量的夾角公式求解即可.

試題解析：

(1)連接交于,因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中,所以

為的中點(diǎn),又為的中點(diǎn)

所以在中是中位線,所以,

又平面平面,

所以平面;

(2)因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中,所以,

平面即是平面,過平面上

點(diǎn)作的垂線于,如平面圖①,

平面圖①

因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中, 平面平面,

所以, ,所以平面于.

過點(diǎn)作直線的垂線于,如平面圖②,

平面圖②

連接,由三垂線定理可知, .

由二面角的平面角定義可知,在中,

即是平面與平面所成銳二面角的平面角.

因長(zhǎng)方體中, ,在平面圖①中,

,

,

在平面圖②中,由相似可知,

所以=2,

,

所以平面與平面所成銳二面角的大小的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】已知函數(shù)，無窮數(shù)列滿足 ,

（Ⅰ）若 ，求， ， ；

（Ⅱ）若 ，且， ， 成等比數(shù)列，求的值；

（Ⅲ）是否存在 ，使得 成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的；若不存在，說明理由.

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（1）求C；

（2）若c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長(zhǎng)．

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(2)已知當(dāng) (其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí),在上至少存在一點(diǎn),使成立,求的取值范圍;

(3)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)任意,有.

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A. B. C. D.

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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為, 直線過點(diǎn).

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(Ⅱ)設(shè)為拋物線上兩點(diǎn), 且不與軸垂直, 若線段的垂直平分線恰過點(diǎn), 求證: 線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.

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【題目】某市擬招商引資興建一化工園區(qū)，新聞媒體對(duì)此進(jìn)行了問卷調(diào)查，在所有參與調(diào)查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如表所示：

支持

保留

不支持

30歲以下

900

120

280

30歲以上（含30歲）

300

260

140

（Ⅰ）在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取部分市民做進(jìn)一步調(diào)研（不同態(tài)度的群體中亦按年齡分層抽樣），已知從“保留”態(tài)度的人中抽取了19人，則在“支持”態(tài)度的群體中，年齡在30歲以上的人有多少人被抽��；

（Ⅱ）在持“不支持”態(tài)度的人中，用分層抽樣的方法抽取6人做進(jìn)一步的調(diào)研，將此6人看作一個(gè)總體，在這6人中任意選取2人，求至少有1人在30歲以上的概率．

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