Question

【題目】函數(shù),其中.

(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)已知當(dāng) (其中是自然對數(shù)的底數(shù))時,在上至少存在一點(diǎn),使成立,求的取值范圍;

(3)求證:當(dāng)時,對任意,有.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2) (3)見解析

【解析】試題分析：

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值，導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．(1)易知的定義域為，通過討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)解答．

(2)在上至少存在一點(diǎn)，使成立，等價于當(dāng)時， ．通過單調(diào)性求出最大值，然后解答．(3)構(gòu)造輔助函數(shù)，并求導(dǎo)得=，然后利用單調(diào)性解答．

試題解析：

(1)易知的定義域為．

∵，

∴=．

由得: 或．

∵，

∴．

①當(dāng)時，

則單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減； 單調(diào)遞增．

②當(dāng)時，

則當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增．

③當(dāng)時， 單調(diào)遞增．

綜上，當(dāng)時， 在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， 在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增．

(2)在上至少存在一點(diǎn)，使成立，等價于當(dāng)時， ．

∵，

∴．

由(1)知， 時， 單調(diào)遞增，當(dāng)時， 單調(diào)遞減．

∴當(dāng)時， ．

∴

解得．滿足．

所以實數(shù)的取值范圍是．

(3)當(dāng)時， ．

設(shè)，

則．

故當(dāng)時， 單調(diào)遞減．

∴對任意，都有成立，

∴．

即．

又，

∴．