【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABCD為平行四邊形,平面PAB,
,
.M為PB的中點.
(1)求證:PD//平面AMC;
(2)求銳二面角B-AC-M的余弦值.
【答案】(1)證明過程詳見解析;(2).
【解析】
試題
(1)連接,設
與
相交于點
,連接
,要證明線面平行,只需要在面AMC中找到一條直線OM與PD平行即可,該問考慮構造三角形的中位線來證明,來證明線面平行,即OM為三角形PBD是邊PD的中位線,線線平行就可以得到線面平行.
(2)求二面角的關鍵是找到二面角的平面角,根據角BPA為30度且AB為PB的一半利用三角形正弦定理即可證明三角形ABP是以角PAB為直角的直角三角形,即可以得到PA與AB垂直,由BC與面PAB垂直可以得到BC與PA垂直,進而有PA垂直于面ABCD中的兩條相交的線段,則有PA垂直與底面ABCD.為作出得到二面角的平面角,作,垂足為
,連接
,
,則有MF為三角形PAB的中位線,得到MF也垂直于底面,即PA與AC垂直,又AC與GF垂直,則有角MGF就是所求二面角的平面角,利用中位線求出MF,利用勾股定理求出GF長度,得到二面角的平面角MGF的三角函數值,就得到求出二面角的角度.
試題解析:
(1)證明:連接,設
與
相交于點
,連接
,
∵四邊形是平行四邊形,∴點
為
的中點.
∵為
的中點,∴
為
的中位線,
∴//
.
∵,
∴//
.
(2)不妨設則
.
在中,
,
得,則
.
∵平面PAB, 故
PA
且,∴
.
取AB的中點,連接
,則
//
,且
.
∴.
平面
,
.
作,垂足為
,連接
,
,
∴,∴
.
∴為二面角
的平面角.
在中,
,得
.
在中,
.
∴二面角的余弦值為
.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案,俗稱陰陽魚.太極圖展現了一種相互轉化,相對統(tǒng)一的和諧美.定義:能夠將圓的周長和面積同時等分成兩個部分的函數稱為圓
的一個“太極函數”.現有下列說法:①對于圓
:
的所有非常數函數的太極函數中,一定不能為偶函數;②函數
是圓
:
的一個太極函數;③存在圓
,使得
是圓
的一個太極函數;④直線
所對應的函數一定是圓
:
(
)的太極函數;⑤若函數
(
)是圓
:
的太極函數,則
.其中正確的是__________.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,,
,點F、E分別是BC、CD的中點,現沿AE將
折起,使點D至點M的位置,且
.
(1)證明:平面MEF;
(2)求二面角的大小.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某房地產公司新建小區(qū)有A、B兩種戶型住宅,其中A戶型住宅每套面積為100平方米,B戶型住宅每套面積為80平方米,該公司準備從兩種戶型住宅中各拿出12套銷售給內部員工,表是這24套住宅每平方米的銷售價格:(單位:萬元平方米):
房號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A戶型 | 2.6 | 2.7 | 2.8 | 2.8 | 2.9 | 3.2 | 2.9 | 3.1 | 3.4 | 3.3 | 3.4 | 3.5 |
B戶型 | 3.6 | 3.7 | 3.7 | 3.9 | 3.8 | 3.9 | 4.2 | 4.1 | 4.1 | 4.2 | 4.3 | 4.5 |
(1)根據表格數據,完成下列莖葉圖,并分別求出A,B兩類戶型住宅每平方米銷售價格的中位數;
A戶型 | B戶型 | |
2. | ||
3. | ||
4. |
(2)該公司決定對上述24套住房通過抽簽方式銷售,購房者根據自己的需求只能在其中一種戶型中通過抽簽方式隨機獲取房號,每位購房者只有一次抽簽機會,小明是第一位抽簽的員工,經測算其購買能力最多為320萬元,抽簽后所抽得住房價格在其購買能力范圍內則確定購買,否則,將放棄此次購房資格,為了使其購房成功的概率更大,他應該選擇哪一種戶型抽簽?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某農科所為改良玉米品種,對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計,獲得莖葉圖(單位:厘米),設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.
抗倒伏 | 易倒伏 | 總計 | |
矮莖 | |||
高莖 | |||
總計 |
(1)請完成以上列聯表,并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關?
(2)為改良玉米品種,現采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株,再從這5株玉米中選取2株進行雜交試驗,則選取的植株均為矮莖的概率是多少?
參考公式:(其中
)
參考數據:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列命題中錯誤的是( )
A.若命題為真命題,命題
為假命題,則命題“
”為真命題
B.命題“若,則
或
”為真命題
C.命題“若,則
或
”的否命題為“若
,則
且
”
D.命題:
,
,則
為
,
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知F1,F2為橢圓E:的左、右焦點,且|F1F2|=2
,點
在E上.
(1)求E的方程;
(2)直線l與以E的短軸為直徑的圓相切,l與E交于A,B兩點,O為坐標原點,試判斷O與以AB為直徑的圓的位置關系,并說明理由.
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