Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)M（1，-

6

2

），F(xiàn)（-

2

，0）是其左焦點(diǎn)，P，Q是橢圓C上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF|，|MF|，|QF|成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）證明：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

1 a2 + 6 4 b2 =1 a2-b2=2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由已知條件推導(dǎo)出x₁+x₂=2．當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，由

x12+2y12=4 x22+2y22=4

，得（x12-x22）+2（y12-y22）=0，由此求出線段PQ的中垂線方程為y-n=2n（x-1），該直線恒過一定點(diǎn)（

1

2

，0）．當(dāng)x₁=x₂時(shí)，線段PQ的中垂線是x軸，也過點(diǎn)（

1

2

，0）．由此能證明線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（

1

2

，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)M（1，-

6

2

），F(xiàn)（-

2

，0）是其左焦點(diǎn)，
∴

1 a2 + 6 4 b2 =1 a2-b2=2

，解得

a2=4 b2=2

，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1，知
|PF|=

(x1+ 2 )2+y12

=

(x1+ 2 )2+2- x12 2

=2+

2

2

x1，
同理|QF|=2+

2

2

x2，|MF|=2+

2

2

，
∵2|MF|=|PF|+|QF|，
∴2(2+

2

2

)=4+

2

2

(x1+x2)，
∴x₁+x₂=2．
①當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，由

x12+2y12=4 x22+2y22=4

，得（x12-x22）+2（y12-y22）=0，
由x₁≠x₂，得y₁≠±y₂，
從而有

y1-y2

x1-x2

=-

1

2

•

x1+x2

y1+y2

，
設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N（1，n），n≠0，
則kPQ=

y1-y2

x1-x2

=-

1

2n

，
得線段PQ的中垂線方程為y-n=2n（x-1），
∴（2x-1）n-y=0，該直線恒過一定點(diǎn)（

1

2

，0）．
②當(dāng)x₁=x₂時(shí)，P（1，-

6

2

），Q（1，

6

2

），或Q（1，-

6

2

），P（1，

6

2

），
線段PQ的中垂線是x軸，也過點(diǎn)（

1

2

，0）．
∴線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（

1

2

，0）．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線段的垂直平分線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．