Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且

a

cosA

=

b

2cosB

=

c

3cosC

．
（Ⅰ）求角A的大�。�
（Ⅱ）若△ABC的面積為3，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，化簡(jiǎn)整理可用tanA分別表示出tanB和tanC，進(jìn)而利用兩角和公式求得tanA，進(jìn)而求得A．
（Ⅱ）利用tanA，求得tanB和tanC的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系取得sinB和sinC，進(jìn)而根據(jù)正弦定理求得b和a的關(guān)系式，代入面積公式求得a．

解答： 解：（Ⅰ）∵

a

cosA

=

b

2cosB

=

c

3cosC

．
∴

sinA

cosA

=

sinB

2cosB

=

sinC

3cosC

，
即tanA=

1

2

tanB=

1

3

tanC，tanB=2tanA，tanC=3tanA，
∵tanA=-tan（B+C）=-

tanB+tanC

1-tanBtanC

，
∴tanA=-

2tanA+3tanA

1-6tan2A

，整理求得tan²A=1，tanA=±1，
當(dāng)tanA=-1時(shí)，tanB=-2，則A，B均為銳角，與A+B+C=π矛盾，故舍去，
∴tanA=1，A=

π

4

．
（Ⅱ）∵tanA=1，tanB=2tanA，tanC=3tanA，
∴tanB=2，tanC=3，
∴sinB=

2

5

，sinC=

3

10

，
∵

a

sinA

=

b

sinB

，
∴b=

sinB•a

sinA

=

2 10

5

a，
∵S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

a•

2 10

5

•a×

3

10

=

3a2

5

=3，
∴a²=5，a=

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．正、余弦定理在解三角形時(shí)，進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換時(shí)的橋梁作用，并利用正、余弦定理對(duì)三角恒等式進(jìn)行證明以及對(duì)三角形形狀進(jìn)行判斷．