Question

2012年4月開(kāi)始，大蒜價(jià)格上漲較快．某地準(zhǔn)備建一個(gè)圓形大蒜儲(chǔ)備庫(kù)，如圖所示，它的斜對(duì)面是一條公路BC，從中心O處向東走1km是儲(chǔ)備中心的邊界上的點(diǎn)A，接著向東再走2km到達(dá)公路上的點(diǎn)B；從O向正北方向3km到達(dá)公路的另一點(diǎn)C．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求圓O及直線BC的方程；
（2）現(xiàn)在準(zhǔn)備在儲(chǔ)備庫(kù)的邊界上選一點(diǎn)D，修建一條由D通往公路BC的專用線DE，從成本考慮，使得所修的專用線最短，求DE的長(zhǎng)度及點(diǎn)D的位置．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，確定O，A，B，C的坐標(biāo)，即可求圓O及直線BC的方程；
（2）由題意可得當(dāng)中心到直線BC的距離減去半徑得到DE的最小值，即可求DE的長(zhǎng)度及點(diǎn)D的位置．

解答： 解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可得O（0，0），A（1，0），B（3，0），C（0，3），
圓O：x²+y²=1，
直線BC：

x

3

+

y

3

=1，即x+y-3=0；
（2）點(diǎn)O到直線BC距離d=

|0+0-3|

2

=

3

2

由題意可得當(dāng)中心到直線BC的距離減去半徑得到DE的最小值
即 |DE|=d-r=

3

2

2

-1（km）．
由

y=x x2+y2=1

，可得x=y=

2

2

，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)D(

2

2

，

2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求圓O及直線BC的方程，考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．