Question

已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，它的一條準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn).當(dāng)與軸垂直時(shí)，.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，求的內(nèi)切圓面積最大時(shí)正實(shí)數(shù)的值.

Answer 1

（1）；（2）.

本試題主要是考查了橢圓的方程的求解以及，三角形的中內(nèi)切圓的性質(zhì)的運(yùn)用，結(jié)合向量工具表示面積。
解：（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，　
得 得 即---------------------（2分）
又 解得，，
故所求橢圓的方程為.----------------------------------（2分）
（2）由點(diǎn)，，可設(shè)，
① 當(dāng)與軸垂直時(shí)，
依（其中為的內(nèi)切圓半徑）
即　　
得  ，此時(shí)可知------------------------------------（2分）
②當(dāng)與軸不垂直時(shí)，
不妨設(shè)直線的方程為
代入　得

則　---------------（2分）
從而可得　
又點(diǎn)到直線的距離.
依（其中為的內(nèi)切圓半徑）
即　　-------------------------------------------（2分）
得＝
＝
知在區(qū)間上該函數(shù)單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，即直線的斜率不存在時(shí)，最大為，亦即的內(nèi)切圓面積最大.
此時(shí)可知綜上所求為.----------------------2分