【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx).
(1)如果對于任意的x∈[0, ],f(x)≥kx+excosx恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)若x∈[﹣ , ],過點(diǎn)M( ,0)作函數(shù)f(x)的圖象的所有切線,令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列{xn},求數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)之和.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx),
可得g(x)=f(x)﹣kx﹣excosx=exsinx﹣kx,
要使任意的x∈[0, ],f(x)≥kx+excosx恒成立,
只需當(dāng)x∈[0, ]時(shí),g(x)min≥0,g′(x)=ex(sinx+cosx)﹣k,
令h(x)=ex(sinx+cosx),則h′(x)=2excosx≥0對x∈[0, ]時(shí)恒成立,
∴h(x)在x∈[0, ]上是增函數(shù),則h(x)∈[1,e ],
①當(dāng)k≤1時(shí),g′(x)≥0恒成立,g(x)在x∈[0, ]上為增函數(shù),
∴g(x)min≥g(0)=0,∴k≤1滿足題意;
②當(dāng)1<k<e 時(shí),g′(x)=0在x∈[0, ]上有實(shí)根x0,h(x)在x∈[0, ]上是增函數(shù),
則當(dāng)x∈[0,x0)時(shí),g′(x)<0,∴g(x0)<g(0)=0不符合題意;
③當(dāng)k≥e 時(shí),g′(x)≤0恒成立,g(x)在x∈[0, ]上為減函數(shù),
∴g(x)<g(0)=0不符合題意,
∴k≤1,即k∈(﹣∞,1]
(2)解:函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx),
∴f′(x)=2excosx,
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,ex0(sinx0+cosx0)),
則切線斜率為f′(x0)=2ex0cosx0,
從而切線方程為y﹣ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0(x﹣x0),
∴﹣ex0(sinx0+cosx0)=2ex0cosx0( ﹣x0),
即tanx0=2(x0﹣ ),令y1=tanx,y2=2(x﹣ ),
這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)對稱,
則它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于x= 對稱,
從而所作的所有切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{xn}的項(xiàng)也關(guān)于x= 成對出現(xiàn),
又在[﹣ , ]內(nèi)共有1008對,每對和為π,
∴數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)之和為1008π
【解析】(1)由題意可得任意的x∈[0, ],f(x)≥kx+excosx恒成立,只需當(dāng)x∈[0, ]時(shí),g(x)min≥0,求出g′(x),令h(x)=ex(sinx+cosx),求出導(dǎo)數(shù),可得h(x)的單調(diào)性,及值域,討論k≤1時(shí),1<k<e 時(shí),當(dāng)k≥e 時(shí),由單調(diào)性確定最小值,即可得到所求k的范圍;(2)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0 , ex0(sinx0+cosx0)),可得切線的斜率和方程,代入M( ,0),可得tanx0=2(x0﹣ ),令y1=tanx,y2=2(x﹣ ),這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)( ,0)對稱,即可得到所求數(shù)列{xn}的所有項(xiàng)之和.
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【題目】已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,,, 點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為14,且,點(diǎn)是邊上一點(diǎn),且.
(1)求實(shí)數(shù)的值及點(diǎn)、的坐標(biāo);
(2)若為線段(含端點(diǎn))上的一個(gè)動點(diǎn),試求的取值范圍.
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【題目】某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系,他們分別到氣象局與某醫(yī)院抄錄了至月份每月號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù),得到如下資料:
日期 | 1月10日 | 2月10日 | 3月10日 | 4月10日 | 5月10日 | 6月10日 |
晝夜溫差 () | ||||||
就診人數(shù)(個(gè)) |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取組,用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用被選取的組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)求選取的組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩月的概率;
(2)若選取的是1月與月的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)2至5月份的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過人,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是理想的,試問該小組所得線性回歸方程是否理想?
參考數(shù)據(jù),
(參考公式: ,)
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【題目】過點(diǎn)P(2,0)的直線交拋物線y2=4x于A,B兩點(diǎn),若拋物線的焦點(diǎn)為F,則△ABF面積的最小值為 .
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【題目】如圖,已知三棱柱 ,側(cè)面 .
(Ⅰ)若 分別是 的中點(diǎn),求證: ;
(Ⅱ)若三棱柱 的各棱長均為2,側(cè)棱 與底面 所成的角為 ,問在線段 上是否存在一點(diǎn) ,使得平面 ?若存在,求 與 的比值,若不存在,說明理由.
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【題目】已知圓 的有 條弦,且任意兩條弦都彼此相交,任意三條弦不共點(diǎn),這 條弦將圓 分成了 個(gè)區(qū)域,(例如:如圖所示,圓 的一條弦將圓 分成了2(即 )個(gè)區(qū)域,圓 的兩條弦將圓 分成了4(即 )個(gè)區(qū)域,圓 的3條弦將圓 分成了7(即 )個(gè)區(qū)域),以此類推,那么 與 之間的遞推式關(guān)系為: .
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【題目】我們可以用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)π的值,如圖程序框圖表示其基本步驟(函數(shù)RAND是產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的函數(shù),它能隨機(jī)產(chǎn)生(0,1)內(nèi)的任何一個(gè)實(shí)數(shù)).若輸出的結(jié)果為521,則由此可估計(jì)π的近似值為( )
A.3.119
B.3.126
C.3.132
D.3.151
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【題目】過 做拋物線 的兩條切線,切點(diǎn)分別為 , .若 .
(1)求拋物線 的方程;
(2) , ,過 任做一直線交拋物線 于 , 兩點(diǎn),當(dāng) 也變化時(shí),求 的最小值.
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面△ABC是等邊三角形,側(cè)面AA1B1B為正方形,且AA1⊥平面ABC,D為線段AB上的一點(diǎn).
(Ⅰ) 若BC1∥平面A1CD,確定D的位置,并說明理由;
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的條件下,求二面角A1D﹣C﹣BC1的余弦值.
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