Question

已知函數(shù)f(x)=-x²+8x，g(x)=6lnx+m，
（Ⅰ）求f(x)在區(qū)間[t，t+1]上的最大值h(t)；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ），
當t+1＜4，即t＜3時，f(x)在[t，t+1]上單調遞增，
；
當t≤4≤t+1時，即3≤t≤4時，h(t)=f(4)=16；
當t＞4時，f(x)在[t，t+1]上單調遞減，；
綜上，；
（Ⅱ）令，
∴，
當x∈（0，1）時，是增函數(shù)；
當x∈（1，3）時，是減函數(shù)；
當x∈（3，+∞）時，是增函數(shù)；
當x=1或x=3時，=0，
所以，，
∵當x充分接近0時，＜0；當x充分大時，＞0，
∴要使的圖象與x軸的正半軸有三個不同的交點，
必須且只需，
∴，
故存在實數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點。