Question

已知向量

a

=（sinx，

3

2

），

b

=（cosx，-1）．
（1）當

a

∥

b

時，求2cos²x-sin2x的值；
（2）求f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的最大值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）當

a

∥

b

時可得tanx=-

3

2

，可得2cos²x-sin2x=

2cos2x-sin2x

cos2x+sin2x

，化為切函數(shù)，代值計算可得；
（2）由向量和三角函數(shù)的知識可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），由x的范圍可得．

解答： 解：（1）當

a

∥

b

時，-sinx=

3

2

cosx，
∴tanx=

sinx

cosx

=-

3

2

，
∴2cos²x-sin2x=

2cos2x-sin2x

cos2x+sin2x

=

2cos2x-2sinxcosx

cos2x+sin2x

=

2-2tanx

1+tan2x

=

2-2(- 3 2 )

1+(- 3 2 )2

=

20

13

；
（2）f（x）=（

a

+

b

）•

b

=

a

•

b

+

b

2=sinxcosx-

3

2

+cos²x+1
=

1

2

sin2x-

3

2

+

1+cos2x

2

+1
=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∵x∈[-

π

2

，0]，∴2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，

2

2

]，
∴當sin（2x+

π

4

）=

2

2

時，f（x）=（

a

+

b

）•

b

取最大值

1

2

．

點評：本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合應用，熟練掌握公式是解決問題的關鍵，屬中檔題．