Question

已知銳角α，β滿足sinβ=mcos（α+β）•sinα（m＞0，α+β≠

π

2

），若x=tanα，y=tanβ，
（1）求y=f（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)α∈[

π

4

，

π

2

）時，求（1）中函數(shù)y=f（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正切公式可得tan（α+β）=（m+1）tanα，即 tanβ=tan[（α+β）-α]=

mtanα

1+(m+1)tan2α

．再根據(jù)x=tanα，y=tanβ，求得y=f（x）的解析式．
（2）當(dāng)α∈[

π

4

，

π

2

）時，x∈[1，+∞），y=

m

1 x +(m+1)x

．令h（x）=

1

x

+（m+1）x，根據(jù)h（x）的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，從而求得y=f（x）的最大值．

解答： 解：（1）∵sinβ=mcos（α+β）•sinα=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，
∴sin（α+β）cosα=（m+1）cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=（m+1）tanα 即 tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

=

mtanα

1+(m+1)tan2α

．
∵x=tanα，y=tanβ，∴y=f（x）=

mx

1+(m+1)x2

．
（2）當(dāng)α∈[

π

4

，

π

2

）時，x∈[1，+∞），y=

mx

1+(m+1)x2

=

m

1 x +(m+1)x

．
令h（x）=

1

x

+（m+1）x，則函數(shù)h（x）在[

1

m+1

，+∞）上是增函數(shù)．
再由m＞0，可得0＜

1

m+1

＜1，故函數(shù)h（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
∴f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時，f(x)max=

m

m+2

．

點(diǎn)評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的正切公式，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．