Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（1+x），g（x）=log_a（1-x），（a＞0，且a≠1）
①判斷函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并證明．
②解不等式：F（x）=f（x）-g（x）＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：指、對(duì)數(shù)不等式的解法,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①先求得定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}，由奇偶性的定義可判；
②原不等式可化為log_a

1+x

1-x

＞0，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式等價(jià)于

1+x

1-x

＞1，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式等價(jià)于0＜

1+x

1-x

＜1，分別解不等式結(jié)合定義域可得．

解答： ①證明：由1+x＞0和1-x＞0可得-1＜x＜1，
∴函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}，
∵F（x）=f（x）-g（x）=log_a（1+x）-log_a（1-x），
∴F（-x）=log_a（1-x）-log_a（1+x）=-F（x），
∴函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）為奇函數(shù)；
②解：由①不等式F（x）=f（x）-g（x）＞0可化為log_a（1+x）-log_a（1-x）＞0，
由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得log_a

1+x

1-x

＞0，
當(dāng)a＞1時(shí)，上不等式等價(jià)于

1+x

1-x

＞1，解得x＞0，結(jié)合定義域可得解集為{x|0＜x＜1}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，上不等式等價(jià)于0＜

1+x

1-x

＜1，解得x＜0，結(jié)合定義域可得解集為{x|-1＜x＜0}

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的判定，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算和分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題．