Question

已知f（x）=mx²+（1-3m）x+2m-1．
（Ⅰ）設(shè)m=2時(shí)，f（x）≤0的解集為A，集合B=（a，2a+1]（a＞0）．若A⊆B，求a的取值范圍；
（Ⅱ）求關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集S；
（Ⅲ）若存在x＞0，使得f（x）＞-3mx+m-1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題,一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）根據(jù)m=2，化簡(jiǎn)集合A，再利用A⊆B，比較區(qū)間端點(diǎn)的大小，得到a的取值范圍；
（Ⅱ）先對(duì)相關(guān)不等式進(jìn)行因式分解，再分類討論，確定相應(yīng)根的大小，得到本題結(jié)論；（Ⅲ）通過參變量分離，求出相應(yīng)函數(shù)的最小值，得實(shí)數(shù)m的取值范圍，即本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=mx²+（1-3m）x+2m-1，m=2，f（x）≤0，
∴（x-1）（2x-3）≤0，
∴1≤x≤

3

2

，
∴A=[1，

3

2

]．
∵A⊆（a，2a+1）（a＞0），
∴

2a+1≥ 3 2 a＜1

且a＞0，
∴

1

4

≤a＜1．
（Ⅱ）∵f（x）=mx²+（1-3m）x+2m-1，f（x）≤0，
∴（x-1）[mx-（2m-1）]≤0，
當(dāng)m＜0時(shí)，S=(-∞，1]∪[2-

1

m

，+∞)；
當(dāng)m=0時(shí)，S=（-∞，1]；
當(dāng)0＜m＜1時(shí)，S=[2-

1

m

，1]；
當(dāng)m=1時(shí)，S={1}；
當(dāng)m＞1時(shí)，S=[1，2-

1

m

]．
（Ⅲ）∵f（x）＞-3mx+m-1，
∴m＞-

x

x2+1

．
令g(x)=-

x

x2+1

=-

1

x+ 1 x

(x＞0)，
∵x＞0，
∴x+

1

x

≥2，
∴0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
∴-

1

2

≤g(x)＜0
∵存在x＞0，使得f（x）＞-3mx+m-1成立，
∴m＞[g（x）]_min，
∴m＞-

1

2

．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-

1

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法、集合間關(guān)系，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題有一定的思維難度，計(jì)算量適中，屬于中檔題．