Question

已知等差數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，且不等式x²-6x+8＜0的解集為{x|a₂＜x＜a₄}．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用不等式知識(shí)求出a₂=2，a₄=4，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式能求出a_n．
（2）由（1）推導(dǎo)出bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前項(xiàng)的和S_n．

解答： 解：（1）∵不等式x²-6x+8＜0的解集為{x|2＜x＜4}…（2分）
且等差數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列
∴a₂=2，a₄=4，…（4分）
∴

a1+d=2 a1+3d=4

，
解得a₁=1，d=1，
∴等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d=1，…（6分）
∴a_n=n…（7分）
（2）∵a_n=n，b n=

1

anan+1

，
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（10分）
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．