Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，且對(duì)任意x∈R都有f′（x）＜

1

2

，則不等式f（x）＞

x+1

2

的解集為（　�。�

• A、（1，2）
• B、（-∞，1）
• C、（1，+∞）
• D、（-1，1）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：所求解的不等式是抽象不等式，是與函數(shù)有關(guān)的不等式，函數(shù)的單調(diào)性和不等關(guān)系最密切．由f′（x）＜

1

2

，構(gòu)造單調(diào)遞減函數(shù)h（x）=f（x）-

1

2

x，利用其單調(diào)性求解即可．

解答： 解：∵f′（x）＜

1

2

，
∴f′（x）-

1

2

＜0，
設(shè)h（x）=f（x）-

1

2

x，則h′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴h（x）是R上的減函數(shù)，且h（1）=f（1）-

1

2

=1-

1

2

=

1

2

．
不等式f（x）＞

x+1

2

，
即為f（x）-

1

2

x＞

1

2

，
即h（x）＞h（1），
得x＜1，
∴原不等式的解集為（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象不等式求解，關(guān)鍵是利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)已知條件和所要解的不等式，找到合適的函數(shù)作載體是關(guān)鍵．