Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a為常數(shù)），
（1）當(dāng)a=4時(shí)，
①判斷函數(shù)在[2，+∞）上單調(diào)性并證明你的結(jié)論
②求出函數(shù)在[3，+∞）上的最小值
（2）求函數(shù)在[1，+∞）上的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：本題（1）先由條件a=4化簡函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)在[3，+∞）上的最小值；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分類討論，確定導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，從而得到函數(shù)的值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a為常數(shù)），
∴當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=x+

4

x

，
①∵f′（x）=1-

4

x2

=

x2-4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，
∴當(dāng)x≥2時(shí)，f′（x）≥0，
∴函數(shù)在[2，+∞）上單調(diào)遞增；
②由①知：函數(shù)f（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）≥f（3）=3+

4

3

=

16

3

．
∴函數(shù)f（x）在[3，+∞）上的最小值為：

16

3

．
（2）∵函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a為常數(shù)），
∴f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

（x≠0），
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）≥f（1）=1+a．
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的值域?yàn)閇1+a，+∞）．
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈(0，

a

)，f′（x）＜0；x∈(

a

，+∞)，f′（x）＞0，
①當(dāng)a＞1時(shí)，[f（x）] min=f(

a

)=2

a

，
函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的值域?yàn)閇2

a

，+∞）．
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，[f（x）]_min=f（1）=1+a．
函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的值域?yàn)閇1+a，+∞）．
綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的值域?yàn)閇1+a，+∞）；
      當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的值域?yàn)閇2

a

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，本題難度適中，屬于中檔題．