已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為
π
4
的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，橢圓C的離心率為
3
2
，
AC
•
AD
-
BC
•
BD
=-
32
3
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P1，P2是橢圓上不同兩點(diǎn)，P1，P2⊥x軸，圓R過(guò)點(diǎn)P1，P2，且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓R內(nèi)，則稱圓R為該橢圓的內(nèi)切圓．問(wèn)橢圓C是否存在過(guò)點(diǎn)F的內(nèi)切圓？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由離心率為
3
2
，得a=2b，c=
3
b，直線l的方程為y=x+
3
b，由方程組
x2
4b2
+
y2
b2
=1
y=x+
3
b
，得5x2+8
3
bx+8b2=0，由此利用已知條件能求出橢圓方程．
（2）由橢圓的對(duì)稱性，設(shè)P1（m，n），P2（m，-n），點(diǎn)R在x軸上，設(shè)點(diǎn)R（t，0），圓R的方程為：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，由此利用內(nèi)切圓定義結(jié)合已知條件能求出橢圓C存在符合條件的內(nèi)切圓，點(diǎn)R的坐標(biāo)是（-
3
2
，0）．
解答： 解：（1）因?yàn)殡x心率為
3
2
，所以a=2b，c=
3
b，
所以橢圓方程可化為：
x2
4b2
+
y2
b2
=1，
直線l的方程為y=x+
3
b，…（2分）
由方程組
x2
4b2
+
y2
b2
=1
y=x+
3
b
，得：x2+4(x+
3
b)2=4b2，
即5x2+8
3
bx+8b2=0，…（4分）
設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），則x1+x2=-
8
3
5
b，…（5分）
又
AC
•
AD
-
BC
•
BD
=（x1+a，y1）•（x2+a，y2）-（x1-a，y1）•（x2-a，y2）=2a（x1+x2），
∴4b•（-
8
3
5
b）=-
32
3
5
，解得b=1，
∴橢圓方程是
x2
4
+y2=1．…（7分）
（2）由橢圓的對(duì)稱性，可以設(shè)P1（m，n），P2（m，-n），
點(diǎn)R在x軸上，設(shè)點(diǎn)R（t，0），
則圓R的方程為：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，
由內(nèi)切圓定義知道，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)R距離的最小值是|P1R|，
設(shè)點(diǎn)M（x，y）是橢圓C上任意一點(diǎn)，
則|MR|2=（x-t）2+y2=
3
4
x2-2tx+t2+1，…（9分）
當(dāng)x=m時(shí)，|MR|2最小，∴m=-
-2t
3
2
=
4t
3
，①…（10分）
又圓R過(guò)點(diǎn)F，所以（-
3
-t）2=（m-t）2+n2，②…（11分）
點(diǎn)P1在橢圓上，∴n2=1-
m2
4
，③…（12分）
由①②③解得：t=-
3
2
或t=-
3
，
又t=-
3
時(shí)，m=
-4
3
3
＜-2，不合題意，
綜上：橢圓C存在符合條件的內(nèi)切圓，點(diǎn)R的坐標(biāo)是（-
3
2
，0）．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓的內(nèi)切圓是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若實(shí)數(shù)x，y滿足
x+y≥0
x-y≥1
x≤0
，則z=2x-y的最小值是（　�。�
A、1
B、0
C、-1
D、-
3
2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

盒子裝中有形狀、大小完全相同的五張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5．現(xiàn)每次從中任意抽取一張，取出后不再放回．
（1）若抽取三次，求前兩張卡片所標(biāo)數(shù)字之和為偶數(shù)的條件下，第三張為奇數(shù)的概率；
（2）若不斷抽取，直至取出標(biāo)有偶數(shù)的卡片為止，設(shè)抽取次數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f（x）=lnx+
a
x
（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+2x，在[
1
2
，+∞）單調(diào)遞增，求a的范圍；
（Ⅱ）當(dāng)n∈N*時(shí)，試比較（
n
n+1
）n（n+1）與（
1
e
）n+2的大小，并證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F是拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，若以點(diǎn)F為圓心半徑為1的圓與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)A是拋物線C上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），直線l與拋物線C相切于點(diǎn)A，l與x軸交于點(diǎn)M，B是點(diǎn)A在拋物線C的準(zhǔn)線上的射影．證明：存在常數(shù)λ，使得
MF
+
MB
=λ
MA
恒成立．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），過(guò)F2垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=3．
（Ⅰ）求橢圓形的方程；
（Ⅱ）過(guò)F1點(diǎn)作相互垂直的直線l1，l2，分別交橢圓于p1，p2，p3，p4試探究
1
|p1p2|
+
1
|p3p4|
是否為定值？并求當(dāng)圓邊形p1，p2，p3，p4的面積S最小時(shí)，直線l1，l2的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

證明：f（x）=x+
1
x-2
在（3，+∞）上是增函數(shù)，在（2，3]上是減函數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AB=AA1，E、F分別是棱BC，A1A的中點(diǎn)，G為棱CC1上的一點(diǎn)，且C1F∥平面AEG．
（Ⅰ）求
CG
CC1
的值；
（Ⅱ）求證：EG⊥A1C；
（Ⅲ）求二面角A1-AG-E的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于集合A，如果定義了一種運(yùn)算“⊕”，使得集合A中的元素間滿足下列4個(gè)條件：
（�。�?a，b∈A，都有a⊕b∈A；
（ⅱ）?e∈A，使得對(duì)?a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a；
（ⅲ）?a∈A，?a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e；
（ⅳ）?a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），
則稱集合A對(duì)于運(yùn)算“⊕”構(gòu)成“對(duì)稱集”．
下面給出三個(gè)集合及相應(yīng)的運(yùn)算“⊕”：
①A={整數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為普通加法；
②A={復(fù)數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為普通減法；
③A={正實(shí)數(shù)}，運(yùn)算“⊕”為普通乘法．
其中可以構(gòu)成“對(duì)稱集”的有
 
．（把所有正確的序號(hào)都填上）

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案