【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線過點(diǎn),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(3)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,求證:.
【答案】(1);(2)①當(dāng)時(shí),;②當(dāng)時(shí),
③當(dāng)時(shí),;(3)詳見解析.
【解析】
試題(1)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以,解得,利用導(dǎo)數(shù)求得斜率為,故切線為;(2),將分成四類,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求得最大值;(3)不妨設(shè),因?yàn)?/span>,所以,,要證明,即證明,令,即證,令(),利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值大于零即可.
試題解析:
(1)因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上,所以,解得.
因?yàn)?/span>,所以切線的斜率為0,
所以切線方程為.
(2)因?yàn)?/span>,
①當(dāng)時(shí),,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,則;
②當(dāng),即時(shí),,,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,則;
③當(dāng),即時(shí),
函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
則;
④當(dāng),即時(shí),,,
函數(shù)在上單調(diào)遞減,則.
綜上,當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
(3)不妨設(shè),
因?yàn)?/span>,
所以,,
可得,,
要證明,即證明,也就是,
因?yàn)?/span>,
所以即證明,
即,
令,則,于是,
令(),
則,
故函數(shù)在上是增函數(shù),
所以,即成立,所以原不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足.
(1)求角;
(2)若,___________________(從下列問題中任選一個(gè)作答,若選擇多個(gè)條件分別解答,則按選擇的第一個(gè)解答計(jì)分).
①的面積為,求的周長;
②的周長為21,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】銀川市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況,首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者,并對(duì)其購房面積m(單位:平方米,)進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計(jì),制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)試估計(jì)該市市民的平均購房面積:
(Ⅱ)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于的40位市民中隨機(jī)取4人,再從這4人中隨機(jī)抽取2人,求這2人的購房面積恰好有一人在的概率,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x),g(x)1.
(1)若f(a)=2,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)判斷f(x)的單調(diào)性,并證明;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=g(x)(x>0),若h(2t)+mh(t)+4>0對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生的身體狀況,某校隨機(jī)抽取了一批學(xué)生測量體重.經(jīng)統(tǒng)計(jì),這批學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)(單位:千克)全部介于45至70之間.將數(shù)據(jù)分成以下5組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到如圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從第3,4,5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,則第3,4,5組抽取的學(xué)生人數(shù)依次為( )
A.4,5,6B.3,2,1C.2,4,5D.2,1,3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)已知,試估算的近似值,(結(jié)果精確到0.001)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,菱形ABCD的邊長為2,且,點(diǎn)E、F分別是PA,CD的中點(diǎn),
(1)求證:EF平面PBC
(2)若PC與平面ABCD所成角的大小為,求C到平面PBD的距離
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給定一個(gè)n項(xiàng)的實(shí)數(shù)列,任意選取一個(gè)實(shí)數(shù)c,變換T(c)將數(shù)列a1,a2,…,an變換為數(shù)列|a1﹣c|,|a2﹣c|,…,|an﹣c|,再將得到的數(shù)列繼續(xù)實(shí)施這樣的變換,這樣的變換可以連續(xù)進(jìn)行多次,并且每次所選擇的實(shí)數(shù)c可以不相同,第k(k∈N*)次變換記為Tk(ck),其中ck為第k次變換時(shí)選擇的實(shí)數(shù).如果通過k次變換后,數(shù)列中的各項(xiàng)均為0,則稱T1(c1),T2(c2),…,Tk(ck)為“k次歸零變換”.
(1)對(duì)數(shù)列:1,3,5,7,給出一個(gè)“k次歸零變換”,其中k≤4;
(2)證明:對(duì)任意n項(xiàng)數(shù)列,都存在“n次歸零變換”;
(3)對(duì)于數(shù)列1,22,33,…,nn,是否存在“n﹣1次歸零變換”?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線過點(diǎn)且傾斜角為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,若曲線的極坐標(biāo)方程為,且直線與曲線相交于,兩點(diǎn).
(1)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程;
(2)若,求直線的直角坐標(biāo)方程.
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