【題目】已知函數(shù).

1)若函數(shù)內(nèi)為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;

2)若函數(shù)內(nèi)恰有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍;

3)已知,試估算的近似值,(結(jié)果精確到0.001

【答案】123的近似值約為1.609

【解析】

1)由題,先求導(dǎo)可得,內(nèi)為增函數(shù)可得上恒成立,即,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性,即可求得,進(jìn)而得解;

2)由題求導(dǎo)可得,分別討論情況下的單調(diào)性,進(jìn)而由內(nèi)恰有兩個零點,結(jié)合的單調(diào)性,求解的范圍;

3)由(1)可知當(dāng),內(nèi)為增函數(shù),則,即內(nèi)恒成立,再由(2)可知當(dāng)時,內(nèi)為減函數(shù),則,即內(nèi)恒成立,進(jìn)而可得內(nèi)恒成立,在內(nèi)找到關(guān)于的數(shù),即可令,,進(jìn)而代入中求解即可.

解:(1)由題,,

,

內(nèi)為增函數(shù),

上恒成立,即,

,則,所以內(nèi)為增函數(shù),

所以.

2)由題,,

,

①當(dāng)時,,則,內(nèi)為增函數(shù),

,則當(dāng)時,,

內(nèi)有且只有一個零點,不符合題意;

②當(dāng)時,設(shè),,內(nèi)為減函數(shù),

,,

i)當(dāng),時,,內(nèi)為增函數(shù),

,則當(dāng)時,,內(nèi)有且只有一個零點,不符合題意;

ii)當(dāng)時,,,

,使得,則內(nèi)為增函數(shù),內(nèi)為減函數(shù),

,則內(nèi)有且只有一個零點,當(dāng)且僅當(dāng),

解得;

iii)當(dāng),時,,內(nèi)為減函數(shù),

,則當(dāng)時,,內(nèi)有且只有一個零點,不符合題意,

綜上所述,.

3)由(1)可知,當(dāng)時,內(nèi)為增函數(shù),

所以,即內(nèi)恒成立,

由(2)可知,當(dāng)時,內(nèi)為減函數(shù),

所以,即內(nèi)恒成立,

綜上,有,即內(nèi)恒成立,

,則有,

可得,即,

,

解得,

所以的近似值約為1.609.

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