Question

【題目】已知橢圓的離心率為， 是橢圓上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離等于．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，是否存在整數(shù)，使得（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，試求整數(shù)的所有取值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）整數(shù)的所有取值為-1，0，1．

【解析】試題分析:（Ⅰ）由，解得,則橢圓方程可求;
(Ⅱ)設(shè)出直線方程,和橢圓聯(lián)立后化為關(guān)于的一元二次方程,由判別式大于求出的范圍,利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積,代入后得到點(diǎn)的坐標(biāo),把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程后得到與的關(guān)系,由的范圍確定的范圍.

試題解析:（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，則由題意知

，解得，

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）結(jié)論：存在整數(shù)，使得．理由如下：

由題意知直線的斜率存在．

設(shè)， ， ， ，

由方程組，消去整理得．

∵直線與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，

∴ ，解得．

而， ，

∵，

∴，

∴， ．

∵點(diǎn)在橢圓上，∴，

∴ ，即，解得，

∴整數(shù)的所有取值為-1，0，1．