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7.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),(φ∈R),若f(x)≤|f(π6)|對(duì)x∈R恒成立,且f(π2)<f(π),對(duì)于結(jié)論:①f(π2)=-12;②f(x)是奇函數(shù);③f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kx-π3,kπ+π6](k∈Z);④f(7π10)>f(π5),其中正確的是( �。�
A.①②B.②③C.③④D.①③

分析 由f(x)≤|f(π6)|對(duì)x∈R恒成立,可得sin2×π6+φ=±1,可得:φ=kπ+π2π3=kπ+π6(k∈Z).又f(π2)<f(π),可得sinkπ+π6+πsin2π+kπ+π6,可得φ=2nπ+π6(n∈Z),f(x)=sin(2x+π6).即可判斷出正誤.

解答 解:函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),(φ∈R),若f(x)≤|f(π6)|對(duì)x∈R恒成立,∴sin2×π6+φ=±1,可得:φ=kπ+π2π3=kπ+π6(k∈Z).
又f(π2)<f(π),∴sinkπ+π6+πsin2π+kπ+π6,解得:k=2n(n∈Z)時(shí)成立,∴φ=2nπ+π6(n∈Z).
可得f(x)=sin(2x+π6).
對(duì)于結(jié)論:①f(π2)=sinπ+π6=-12,正確;
②f(-x)≠-f(x),不是奇函數(shù),不正確;
③由π2+2kπ2x+π6π2+2kπ,解得π3+kπ≤x≤kπ+π6,可得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kx-π3,kπ+π6](k∈Z),正確;
④f(7π10)=sin7π5+π6=-sin17π30<0,f(π5)=sin2π5+π6=sin17π30>0,∴f(7π10)<f(π5),不正確.
其中正確的是①③.
故選:D.

點(diǎn)評(píng) 本題查克拉三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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