Question

16．已知P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的焦點(diǎn)．
（1）若∠F₁PF₂=90°，求△PF₁F₂的面積；
（2）求|PF₁|•|PF₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，由于∠F₁PF₂=90°，根據(jù)勾股定理與橢圓的定義可得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=10}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=64}\end{array}\right.$，解出mn即可．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則m+n=10，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）c=$\sqrt{25-9}$=4，可得F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵∠F₁PF₂=90°，
則$\left\{\begin{array}{l}{m+n=10}\\{{m}^{2}+{n}^{2}=64}\end{array}\right.$，化為mn=18．
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$mn=9．
（2）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，
則m+n=10，
∴10$≥2\sqrt{mn}$，化為mn≤25，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=5時(shí)取等號(hào)．
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值為25．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．