Question

【題目】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)、是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，利用導(dǎo)數(shù)得到的最小值，從而要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則最小值小于，得到的范圍，再利用零點(diǎn)存在定理證明所求的的范圍符合題意；（2）利用分析法，要證，將問題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，從而進(jìn)行證明.

函數(shù)，

所以，

當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，

當(dāng)時(shí)，由得，

所以時(shí)，，單調(diào)遞減，

時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以時(shí)取得極小值，也是最小值，

要有兩個(gè)零點(diǎn)，則，

即，解得，

所以，

當(dāng)時(shí)，得，

當(dāng)時(shí)，，

設(shè)，則

所以單調(diào)遞增，則，

所以，

所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

所以滿足有兩個(gè)零點(diǎn)的的取值范圍為.

（2）、是的兩個(gè)零點(diǎn)，則，

要證，即證，

根據(jù)，

可知，，

即證，

即證，即證，

即證，

設(shè)，，

由（1）知在上單調(diào)遞增，

故只需證明，

而，所以只需證

令，且

所以，，

所以在上單調(diào)遞減，

所以，

所以在上恒成立，

所以，

故原命題得證.