Question

【題目】如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長(zhǎng)為a，E是PC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：PA∥平面BDE；

（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE；

（Ⅲ）若二面角E-BD-C為30°，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（I）詳見(jiàn)解析；（II）詳見(jiàn)解析；（III）.

【解析】

（Ⅰ）連接，證明．然后證明平面

（Ⅱ）證明，，推出平面，然后證明平面⊥平面

（Ⅲ）取中點(diǎn)，連接，說(shuō)明為二面角的平面角，求出，，．然后求解幾何體的體積

解：（Ⅰ）證明：連接OE，如圖所示．

∵O、E分別為AC、PC中點(diǎn)，

∴OE∥PA．

∵OE面BDE，PA平面BDE，

∴PA∥平面BDE．

（Ⅱ）證明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD．

在正方形ABCD中，BD⊥AC，

又∵PO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．

又∵BD平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE．

（Ⅲ）取OC中點(diǎn)F，連接EF．

∵E為PC中點(diǎn)，

∴EF為△POC的中位線，∴EF∥PO．

又∵PO⊥平面ABCD，

∴EF⊥平面ABCD，

∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．

∴∠EOF為二面角E-BD-C的平面角，

∴∠EOF=30°．

在Rt△OEF中，

OF=OC=AC=a，

∴EF=OFtan30°=a，∴OP=2EF=a．

∴VP-ABCD=×a2×a=a3．