Question

【題目】已知函數(shù)，，.

（1）當，時，求函數(shù)的最小值；

（2）當，時，求證方程在區(qū)間上有唯一實數(shù)根；

（3）當時，設是函數(shù)兩個不同的極值點，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）構(gòu)造新函數(shù)y=，求導判斷單調(diào)性，得出最小值e.（2）變量分離a=- =h（x），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)h（x）的最小值，利用a的范圍證明在區(qū)間(0，2)上有唯一實數(shù)根；（3）求出 ，問題轉(zhuǎn)化為證 ，令x1﹣x2=t，得到t＜0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

(1)當＝0，時，= ，求導y’= =0的根x=1

所以y在（-），（0,1）遞減，在（1，+ ）遞增，

所以y =e

(2)+=0,所以a=- =h（x）

H’(x)=- =0的根x=2

則h（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，

所以h（2）是y=h（x）的極大值即最大值，即

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上有唯一實數(shù)根；

(3)= -

F’(x)-2ax-a=0的兩根是，

∵x1，x2是函數(shù)F（x）的兩個不同極值點（不妨設x1＜x2），

∴a＞0（若a≤0時，f'（x）＞0，即F（x）是R上的增函數(shù)，與已知矛盾），

且F'（x1）=0，F(xiàn)'（x2）=0．∴，…

兩式相減得：，…

于是要證明，即證明，兩邊同除以，

即證，即證，即證，

令x1﹣x2=t，t＜0．即證不等式，當t＜0時恒成立．

設，∴=

設，∴，

當t＜0，h'（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減，

所以h（t）＞h（0）=0，即，

∴φ'（t）＜0，∴φ（t）在t＜0時是減函數(shù)．

∴φ（t）在t=0處取得極小值φ（0）=0．

∴φ（t）＞0，得證．

∴．