Question

已知A、B、C是直線l上的三點，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OA

=m2

OB

+n2

OC

，則

m2

1+n2

+

n2

1+m2

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：先根據(jù)題意得出m²+n²=1，從而

m2

1+n2

+

n2

1+m2

=2（

1

1+n2

+

1

1+m2

）-2，令sinα=m，cosα=n，令y=2（

1

1+n2

+

1

1+m2

）-2，通過三角函數(shù)的性質(zhì)，從而得出答案．

解答： 解：∵A、B、C是直線l上的三點，
向量

OA

，

OB

，

OC

滿足

OA

=m2

OB

+n2

OC

，
∴m²+n²=1，
∴

m2

1+n2

+

n2

1+m2

=

2-(1+n2)

1+n2

+

2-(1+m2)

1+m2

=2（

1

1+n2

+

1

1+m2

）-2，
令sinα=m，cosα=n，令y=2（

1

1+n2

+

1

1+m2

）-2，
∴y=2（

1

1+cos2α

+

1

1+sin2α

）-2
=2•

1+sin2α+1+cos2α

(1+sin2α)(1+cos2α)

-2
=

6

2+ 1 4 sin2α

-2，
當sin2α=1時，y=

2

3

，當sin2α=-1時，y=

10

7

，
∴

2

3

≤y≤

10

7

，
故答案為：[

2

3

，

10

7

]．

點評：本題考查了平面向量基本定理，考查轉(zhuǎn)化思想，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．