Question

【題目】設(shè)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）如圖，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)是.求證：直線恒過一定點(diǎn).

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）先由拋物線定義用坐標(biāo)表示，進(jìn)而得，再根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，聯(lián)立方程組可解出.（Ⅱ）證明直線過定點(diǎn)，一般方法為以算代證，即先求出直線方程，再將直線方程化為點(diǎn)斜式證明過定點(diǎn).具體方法為先設(shè)兩點(diǎn)（用縱坐標(biāo)表示），根據(jù)直線與拋物線位置關(guān)系得兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系.再根據(jù)兩點(diǎn)式寫出直線方程，化成點(diǎn)斜式得定點(diǎn)（或令 解得 ）

試題解析：解：（Ⅰ）由拋物線定義得

又，所以，即

代入，得，由得.

所以拋物線的方程為.

（Ⅱ）設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線方程：

，

消去得，

由韋達(dá)定理可得.

又由，可得直線的方程為：

，

∵，

∴，

即，

，

∴，

∴直線恒過定點(diǎn).