【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,右頂點(diǎn)為,直線過(guò)原點(diǎn),且點(diǎn)在x軸的上方,直線與分別交直線:于點(diǎn)、.
(1)若點(diǎn),求橢圓的方程及△ABC的面積;
(2)若為動(dòng)點(diǎn),設(shè)直線與的斜率分別為、.
①試問(wèn)是否為定值?若為定值,請(qǐng)求出;否則,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②求△AEF的面積的最小值.
【答案】(1)(2)①②
【解析】
試題分析:(1)根據(jù)題意的離心率及點(diǎn)B的坐標(biāo),建立方程,求出a的值,即可求△ABC的面積;(2)①為定值,證明,由(1)得,即可得到結(jié)論;②設(shè)直線AB的方程為y=k1(x-a),直線AC的方程為y=k2(x-a),令x=a+1得,求出△AEF的面積,結(jié)合①的結(jié)論,利用基本不等式,可求△AEF的面積的最小值
試題解析:(1)由題意得 解得
橢圓的方程為 ……………………………………………………3分
△ABC的面積.………………………4分
(2)① 為定值,下證之:
證明:設(shè),則,且.………………5分
而………………………7分
由離心率,得
所以,為定值.……………………………………………8分
②由直線的點(diǎn)斜式方程,得直線的方程為,直線的方程為. 令
,得,.
所以,△AEF的面積…………………………10分
由題意,直線的斜率. 由①,
于是,,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).………………………………11分
所以,△AEF的面積的最小值為.………12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列結(jié)論正確的是
①在某項(xiàng)測(cè)量中,測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布.若在內(nèi)取值的概率為0.35,則在內(nèi)取值的概率為0.7;
②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出回歸方程,設(shè),其變換后得到線性回歸方程,則;
③已知命題“若函數(shù)在上是增函數(shù),則”的逆否命題是“若,則函數(shù)在上是減函數(shù)”是真命題;
④設(shè)常數(shù),則不等式對(duì)恒成立的充要條件是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,動(dòng)點(diǎn)滿足:直線與直線的斜率之積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的射線,與(1)的軌跡分別交于兩點(diǎn),求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線的右頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離等于,拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,則拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),直線,動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)是否存在過(guò)的直線,使得直線被曲線截得的弦恰好被點(diǎn)所平分?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 橢圓的離心率是,點(diǎn)在橢圓上, 設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn), 過(guò) 點(diǎn)引橢圓的兩條弦、.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與的斜率是互為相反數(shù).
①直線的斜率是否為定值?若是求出該定值, 若不是,說(shuō)明理由;
②設(shè)、的面積分別為和 ,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)如圖,直線與拋物線交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是.求證:直線恒過(guò)一定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】以邊長(zhǎng)為4的等比三角形的頂點(diǎn)以及邊的中點(diǎn)為左、右焦點(diǎn)的橢圓過(guò)兩點(diǎn).
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)且軸不垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn),求證直線與的交點(diǎn)在一條直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),恒成立,求a的取值范圍.(其中,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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