已知橢圓的一個頂點和兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線與橢圓交于、兩點，試問，是否存在軸上的點，使得對任意的，為定值，若存在，求出點的坐標，若不存在，說明理由.

（1）；（2）存在點使得為定值.

解析試題分析：（1）橢圓的標準方程是，則本題中有，已知三角形的面積為4，說明，這樣可以求得；（2）存在性命題的解法都是假設(shè)存在，然后想辦法求出.下面就是想法列出關(guān)于的方程，本題是直線與橢圓相交問題，一般方法是設(shè)交點為，把直線方程代入橢圓方程交化簡為，則有，，而，就可用表示，這個值為定值，即與無關(guān)，分析此式可得出結(jié)論．．
試題解析：（1）設(shè)橢圓的短半軸為，半焦距為，
則，由得，
由解得,則橢圓方程為.     （6分）
（2）由得 
設(shè)由韋達定理得：

=
==，     （10分）
當，即時，為定值，所以，存在點使得為定值（14分）．
考點：（1）橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓相交問題．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知動圓與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個不在軸上的動點，為坐標原點，過點作的平行線交曲線于兩個不同的點.
（1）求曲線的方程；
（2）試探究和的比值能否為一個常數(shù)？若能，求出這個常數(shù)，若不能，請說明理由；
（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦與．當直線斜率為0時，．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率，且直線是拋物線的一條切線.
（1）求橢圓的方程；
（2）點P 為橢圓上一點，直線，判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由；
（3）過橢圓上一點P作橢圓的切線交直線于點A，試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C： (a>b>0)的離心率為，且橢圓C上一點與兩個焦點F1，F(xiàn)2構(gòu)成的三角形的周長為2+2．
(1)求橢圓C的方程；
(2)過右焦點F2作直線l 與橢圓C交于A，B兩點，設(shè)，若，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：（）的右焦點為，且橢圓過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)斜率為的直線與橢圓交于不同兩點、，以線段為底邊作等腰三角形，其中頂點的坐標為，求△的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知是橢圓上兩點，點的坐標為.
（1）當關(guān)于點對稱時，求證：；
（2）當直線經(jīng)過點時，求證：不可能為等邊三角形.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)Ｐ是圓上的動點，點Ｄ是Ｐ在軸上投影，Ｍ為PD上一點，且．

（1）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；
（2）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，動點與兩定點、構(gòu)成，且，設(shè)動點的軌跡為．

（1）求軌跡的方程；
（2）設(shè)直線與軸相交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍．

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