已知定義域為(0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:f(m)+f(n)=f對任意m,n∈(0,+∞)均成立.
(Ⅰ)求f(1)的值;若f(a)=1,求的值;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程2f(x+1)=f(kx)有且僅有一個根,求實數(shù)k的取值集合.
【答案】分析:(Ⅰ)利用賦值法,令m=n=1,解得f(1)=0,令,解得即可;
(Ⅱ)令m=n,得:2f(n)=f(n2),所求方程等價于f[(x+1)2]=f(kx),結(jié)合f(x)的單調(diào)性,所以原方程可化為一元二次不等式組,現(xiàn)分類討論:①若k>0,②若k<0,結(jié)合根的分布原理,即可求得實數(shù)k的取值集合.
解答:解:(Ⅰ)令m=n=1,解得f(1)=0
又令,解得
(Ⅱ)令m=n,得:2f(n)=f(n2),
所求方程等價于f[(x+1)2]=f(kx),
又f(x)是(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),
所以原方程可化為,即
若k>0,則原問題為方程x2+(2-k)x+1=0在(0,+∞)上有一個根,
設(shè)其兩根為x1,x2,則△=(2-k)2-4≥0,又注意到x1x2=1>0,
∴只可能是二重正根,由△=0解
得k=4或k=0(矛盾,舍去)
若k<0,則原問題為方程x2+(2-k)x+1=0在(-1,0)上有一個根,
仍有x1x2=1>0,記g(x)=x2+(2-k)x+1,
易知g(0)=1>0,
由根的分布原理,只需g(-1)<0,即k<0,
綜上,k∈(-∞,0)∪{4}.
點評:本題主要考查函數(shù)的奇偶性,屬于中檔題,函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的“局部”性質(zhì).研究函數(shù)的奇偶性,我們必須正確理解它們的定義.賦值法是解決抽象函數(shù)常用的方法.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域為(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足:
(1)對任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;
(2)當(dāng)x∈(1,2]時f(x)=2-x給出結(jié)論如下:
①任意m∈Z,有f(2m)=0;
②函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞);
③存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;
④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k-1).
其中所有正確結(jié)論的序號是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域為(0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足:f(m)+f(n)=f(m•n)對任意m,n∈(0,+∞)均成立.
(Ⅰ)求f(1)的值;若f(a)=1,求f(
1a
)
的值;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程2f(x+1)=f(kx)有且僅有一個根,求實數(shù)k的取值集合.

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已知定義域為(0,+∞)的函數(shù)f(x)滿足:(1)對任意x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;(2)當(dāng)x∈(1,2]時,f(x)=2-x.給出如下結(jié)論:
①對任意m∈Z,有f(2m)=0;
②存在n∈Z,使得f(2n+1)=9;
③函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞);
④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z,使得(a,b)⊆(2k,2k+1)”.
其中所有正確結(jié)論的序號是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域為(0,+∞)函數(shù)f(x)的解析式滿足(x-1)f(x-1)=x2-2x+2.函數(shù)g(x)=
f(x),x>0
f(-x),x<0
,則函數(shù)g(x)在區(qū)間[-2,-
1
2
]上的值域是
[2,
5
2
]
[2,
5
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域為(0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x),若對任意x∈(0,+∞),都有f(f(x)+log
1
2
x)=3
,則方程f(x)=2+
x
的解的個數(shù)是
0
0

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