已知定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log
1
2
x)=3，則方程f(x)=2+
x
的解的個(gè)數(shù)是
0
0
．
分析：先化簡(jiǎn)方程，并畫(huà)出圖象，進(jìn)而利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)類型的單調(diào)性的快慢程度即可得出答案．
解答：解：∵定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log
1
2
x)=3，方程f(x)=2+
x
，
∴f（2+
x
+log
1
2
x）=3，
∴2+
2+
x
+log
1
2
x
=3，
∴2+
x
+log
1
2
x=1，即1+
x
-log2x=0．
作出函數(shù)y=1+
x
，y=log2x的圖象：
根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)類型的單調(diào)性增長(zhǎng)的快慢可知：y=1+
x
先慢后快，而函數(shù)y=log2x先快后慢，
故兩個(gè)函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)．
∴方程f(x)=2+
x
的解的個(gè)數(shù)為0．
故答案為0．
點(diǎn)評(píng)：正確理解指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)類型的單調(diào)性增長(zhǎng)的快慢程度是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：
（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)f（x）=2-x給出結(jié)論如下：
①任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k-1）．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：f（m）+f（n）=f（m•n）對(duì)任意m，n∈（0，+∞）均成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；若f（a）=1，求f(
1a
)的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程2f（x+1）=f（kx）有且僅有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)k的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x．給出如下結(jié)論：
①對(duì)任意m∈Z，有f（2m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
③函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）函數(shù)f（x）的解析式滿足（x-1）f（x-1）=x2-2x+2．函數(shù)g（x）=
f(x)，x＞0
f(-x)，x＜0
，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，-
1
2
]上的值域是
[2，
5
2
]
[2，
5
2
]
．

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