已知定義域?yàn)椋?，+∞）函數(shù)f（x）的解析式滿足（x-1）f（x-1）=x2-2x+2．函數(shù)g（x）=
f(x)，x＞0
f(-x)，x＜0
，則函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，-
1
2
]上的值域是
[2，
5
2
]
[2，
5
2
]
．
分析：由已知中函數(shù)f（x）滿足（x-1）f（x-1）=x2-2x+2，可求出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而得到函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合x(chóng)∈[-2，-
1
2
]，可得函數(shù)的最值，從而可求得函數(shù)的值域．
解答：解：由（x-1）f（x-1）=x2-2x+2，得f（x-1）=
x2-2x+2
x-1
=（x-1）+
1
x-1
，
∴f（x）=x+
1
x
（x＞0），
則g（x）=
f(x)，x＞0
f(-x)，x＜0
=
x+
1
x
，x＞0
-x-
1
x
，x＜0
，
當(dāng)x∈[-2，-
1
2
]時(shí)，g（x）=-x-
1
x
，g′（x）=-1+
1
x2
=
(1+x)(1-x)
x2
，
當(dāng)x∈[-2，-1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞增；當(dāng)x∈（-1，-
1
2
]時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，
∴x=-1時(shí)g（x）取得最小值為g（-1）=2，
又g（-2）=g（-
1
2
）=
5
2
，∴g（x）的最大值為
5
2
，
故函數(shù)g（x）在區(qū)間[-2，-
1
2
]上的值域?yàn)椋篬2，
5
2
]．
故答案為：[2，
5
2
]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是利用根據(jù)已知條件先求得f（x）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：
（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)f（x）=2-x給出結(jié)論如下：
①任意m∈Z，有f（2m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；
③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k-1）．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足：f（m）+f（n）=f（m•n）對(duì)任意m，n∈（0，+∞）均成立．
（Ⅰ）求f（1）的值；若f（a）=1，求f(
1a
)的值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程2f（x+1）=f（kx）有且僅有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)k的取值集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對(duì)任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x．給出如下結(jié)論：
①對(duì)任意m∈Z，有f（2m）=0；
②存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；
③函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；
④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），若對(duì)任意x∈（0，+∞），都有f(f(x)+log
1
2
x)=3，則方程f(x)=2+
x
的解的個(gè)數(shù)是
0
0
．

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