Question

已知函數(shù)f(x) =elnx, g(x) =lnx-x-1, h(x) =x2. 

(1) 求函數(shù)g(x) 的極大值;

(2) 求證: 存在x0∈(1, +∞), 使g(x0) =g;

(3) 對于函數(shù)f(x) 與h(x) 定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x, 若存在常數(shù)k, b, 使得f(x) ≤k x+b和h(x) ≥k x+b都成立, 則稱直線y=k x+b為函數(shù)f(x) 與h(x) 的分界線. 試探究函數(shù)f(x) 與h(x) 是否存在“分界線”? 若存在, 請給予證明, 并求出k, b的值; 若不存在, 請說明理由.

Answer 1

[解析]（1）（）. （1分）

令，解得；

令，解得.    （2分）

∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. （3分）

∴的極大值為     （4分）

（2）由（1）知在上單調(diào)遞減，

令，則在上單調(diào)遞減.

，  （5分）

取，則.（6分）

故存在，使，即存在，使.（7分）

（說明: 的取法不唯一, 只要滿足, 且即可）

（3）設(shè)（）,

則，

當(dāng)時(shí), , 函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

∴是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即.

∴函數(shù)與的圖象在處有公共點(diǎn). （9分）

設(shè)與存在“分界線”且其方程為，

令函數(shù)，

①由，得在上恒成立，

即在上恒成立，

∴，即，

∴，故. （11分）

②下面說明：，即（）恒成立.

設(shè)，則.

∵當(dāng)時(shí), ，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減,

∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，.

∴（）恒成立. （13分）

綜合①②知，且，故函數(shù)與存在“分界線”, 且，.