【題目】如圖所示,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,側(cè)面ABB1A1為菱形,∠DAB=∠DAA1 .
(Ⅰ)求證:A1B⊥BC;
(Ⅱ)若AD=AB=3BC,∠A1AB=60°,點(diǎn)D在平面ABB1A1上的射影恰為線段A1B的中點(diǎn),求平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大。
【答案】證明:(Ⅰ)連接AB1、A1D、BD,設(shè)AB1交A1B于點(diǎn)O, 連OD,如圖所示.
由AA1=AB,∠DAB=∠DAA1 , 可得△AA1D≌△ABD,
所以A1D=BD,
由于O是線段A1B的中點(diǎn),所以DO⊥A1B,
又根據(jù)菱形的性質(zhì)知AO⊥A1B,所以A1B⊥平面ADO,
所以A1B⊥AD,又因?yàn)锳D∥BC,所以A1B⊥BC.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知A1B⊥AB1 ,
又由題意知DO⊥平面ABB1A1 ,
故可分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
設(shè)AD=AB=3BC=3a,
由∠A1AB=60°知 ,|OA|=|OB1|= ,
所以|OD|= = ,
從而A(0,﹣ ,0),B( ,0,0),B1(0, ,0),D(0,0, ),
所以 .
由 = ,得 ,所以 .
設(shè)平面DCC1D1的一個(gè)法向量為 =(x0 , y0 , z0),
由 ,得 ,
取y0=1,則 , ,所以 =( ).
又平面ABB1A1的法向量為 ,
所以 .
故平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大小為 .
【解析】(Ⅰ)連接AB1、A1D、BD,設(shè)AB1交A1B于點(diǎn)O,連OD,推導(dǎo)出△AA1D≌△ABD,從而DO⊥A1B,由菱形的性質(zhì)知AO⊥A1B,從而A1B⊥平面ADO,進(jìn)而A1B⊥AD,再由AD∥BC,能證明A1B⊥BC.(Ⅱ)分別以射線、射線、射線為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面DCC1D1與平面ABB1A1所成銳二面角的大。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí),掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題:
①已知a,b,m都是正數(shù),并且a<b,則 > ;
②在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若∠A=60°,a=7,b=8,則三角形有一解;
③若函數(shù)f(x)= ,則f( )+f( )+f( )+…+f( )=5;
④在等比數(shù)列{an}中,a1+a2+…+an= (其中n∈N* , q為公比);
⑤如圖,在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別是CD,CC1的中點(diǎn),則異面直線A1M與DN所成角的大小是90°.
其中真命題有(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1B1B為正方形,BB1C1C為菱形,B1CAC1
(Ⅰ)求證:平面AA1B1B面BB1C1C;
(Ⅱ)若D是CC1中點(diǎn),ADB是二面角A-CC1-B的平面角,求直線AC1與平面ABC所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】本市某玩具生產(chǎn)公司根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查分析,決定調(diào)整產(chǎn)品生產(chǎn)方案,準(zhǔn)備每天生產(chǎn), , 三種玩具共100個(gè),且種玩具至少生產(chǎn)20個(gè),每天生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10小時(shí),已知生產(chǎn)這些玩具每個(gè)所需工時(shí)(分鐘)和所獲利潤(rùn)如表:
玩具名稱 | |||
工時(shí)(分鐘) | 5 | 7 | 4 |
利潤(rùn)(元) | 5 | 6 | 3 |
(Ⅰ)用每天生產(chǎn)種玩具個(gè)數(shù)與種玩具表示每天的利潤(rùn)(元);
(Ⅱ)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+b的圖象如圖,則f(x)的解析式和S=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2013)+f(2014)+f(2015)+f(2016)的值分別為( )
A.f(x)= sin x+1,S=2016
B.f(x)= cos x+1,S=2016
C.f(x)= sin x+1,S=2016.5
D.f(x)= cos x+1,S=2016.5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】?jī)蓚(gè)非零向量 、 不共線.
(1)若 = + , =2 +8 , =3( ﹣ ),求證:A、B、D三點(diǎn)共線;
(2)求實(shí)數(shù)k使k + 與2 +k 共線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在如圖的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn).
(1)求證:AB∥平面DEG;
(2)求證:BD⊥EG;
(3)求二面角C﹣DF﹣E的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形為菱形,四邊形為平行四邊形,設(shè)與相交于點(diǎn), .
(1)證明:平面平面;
(2)若與平面所成角為60°,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】己知f(x)=x2﹣2x+2,在[ ,m2﹣m+2]上任取三個(gè)數(shù)a,b,c,均存在以 f(a),f(b),f(c)為三邊的三角形,則m的取值范圍為( )
A.(0,1)
B.[0, )
C.(0, ]
D.[ , ]
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