Question

【題目】如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1B1B為正方形,BB1C1C為菱形,B1CAC1

（Ⅰ）求證：平面AA1B1B面BB1C1C；

（Ⅱ）若D是CC1中點(diǎn),ADB是二面角A-CC1-B的平面角,求直線(xiàn)AC1與平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）先證明, 從而，結(jié)合可得，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量及直線(xiàn)的AC1一個(gè)方向向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得結(jié)果.

試題解析：（1）連結(jié),因?yàn)?/span>為菱形,所以,又 , ,所以,

故。

因?yàn)?/span>,且,所以,

而,所以平面平面；

（2）因?yàn)?/span>是二面角的平面角,所以,又是中點(diǎn),所以,所以為等邊三角形。

如圖如示,分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系。

不妨設(shè),則,。

設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則

,即,

取得

所以,

所以直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為。