【題目】已知數(shù)列、滿足：，，，．

（1）求，，，；

（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

【答案】（1），，，（2）證明見解析，（）（3）

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求得與的遞推關(guān)系式，由此先求出，進(jìn)而依次求得的值.

（2）由（1）中求得的與的遞推關(guān)系式，利用配湊法證得數(shù)列是等差數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.

（3）由（2）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和法求得.

解法一：利用分離常數(shù)法化簡不等式，得到，利用數(shù)列的單調(diào)性證得，由此求得的取值范圍.

解法二：通過差比較法，化簡，對分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.

（1）由于，所以，

因?yàn)?/span>，所以，，，，．

（2），，

所以，，

所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．

所以，，（）．

（3）因?yàn)?/span>，從而，

所以，

，

解法一：

所以，不等式化為，

即當(dāng)時(shí)恒成立，

令，

則隨著的增大而減小，且恒成立．

故，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

解法二：

，

若不等式對任意恒成立，則當(dāng)且僅當(dāng)對任意恒成立．

設(shè)，由題意，，

當(dāng)時(shí)，恒成立；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像的對稱軸為，

在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，故只需即可，

由，得，所以當(dāng)時(shí)，對恒成立．

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的值；

（3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，取同離心率的兩個(gè)橢圓成軸對稱內(nèi)外嵌套得一個(gè)標(biāo)志，為美觀考慮，要求圖中標(biāo)記的①、②、③）三個(gè)區(qū)域面積彼此相等.（已知：橢圓面積為圓周率與長半軸、短半軸長度之積，即橢圓面積為）

（1）求橢圓的離心率的值；

（2）已知外橢圓長軸長為6，用直角角尺兩條直角邊內(nèi)邊緣與外橢圓相切，移動(dòng)角尺繞外橢圓一周，得到由點(diǎn)M生成的軌跡將兩橢圓圍起來，整個(gè)標(biāo)志完成.請你建立合適的坐標(biāo)系，求出點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，斜三棱柱中，平面平面，為棱的中點(diǎn)，與點(diǎn)．若，60°．

（Ⅰ）證明：直線平面；

（Ⅱ）證明：平面平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的中心為，一個(gè)方向向量為的直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)

（1）若且點(diǎn)在第二象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若經(jīng)過的直線與垂直，求證：點(diǎn)到直線的距離；

（3）若點(diǎn)、在橢圓上，記直線的斜率為，且為直線的一個(gè)法向量，且求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列，滿足：對任意正整數(shù)，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）設(shè)=++…+，如果對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的周期為，圖象的一個(gè)對稱中心為.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象.

(1)求函數(shù)與的解析式.

(2)定義:當(dāng)函數(shù)取得最值時(shí),函數(shù)圖象上對應(yīng)的點(diǎn)稱為函數(shù)的最值點(diǎn),如果函數(shù)的圖象上至少有一個(gè)最大值點(diǎn)和一個(gè)最小值點(diǎn)在圓的內(nèi)部或圓周上，求k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象,分別是的極值點(diǎn),且有,則函數(shù) ( )

A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上單調(diào)遞減

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)離心率.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)的直線(不經(jīng)過點(diǎn)且不與軸重合)與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線:交于點(diǎn)，記直線的斜率分別為.則是否存在常數(shù)，使得向量 共線？若存在求出的值；若不存在，說明理由.

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