【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)離心率.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)的直線(不經(jīng)過點(diǎn)且不與軸重合)與橢圓交于兩點(diǎn),與直線:交于點(diǎn),記直線的斜率分別為.則是否存在常數(shù),使得向量 共線?若存在求出的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)2.
【解析】
(1)根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率,結(jié)合性質(zhì) ,列出關(guān)于 、 、的方程組,求出 、,即可得結(jié)果;(2)直線的方程為, 代入橢圓方程整理得,求得的坐標(biāo)為,求出 ,利用韋達(dá)定理化簡可得,從而可得結(jié)果.
(1)由在橢圓上, .①
由已知得,
又, .②
②代入①解得.
橢圓的方程為.
(2)假設(shè)存在常數(shù),使得向量共線,
,即.
由題意可設(shè)的斜率為,
則直線的方程為,③
代入橢圓方程并整理,得,
設(shè),則有
,.④
在方程③中令得,的坐標(biāo)為.
從而,,.
, ⑤
④代入⑤得,
又, .
故存在常數(shù)符合題意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若關(guān)于的不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù)),曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè),其中為的導(dǎo)函數(shù).證明:對任意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足,且.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的離心率,拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的右焦點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作兩條斜率都存在的直線,設(shè)與橢圓交于兩點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),若是與的等比中項(xiàng),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四面體ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,,AD=CD=,O是AC的中點(diǎn),E是BD的中點(diǎn).
(1)證明:DO⊥底面ABC;
(2)求二面角D-AE-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校100名學(xué)生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生語文成績的平均分;
(3)若這100名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(x)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)(y)之比如下表所示,求數(shù)學(xué)成績在[50,90)之外的人數(shù).
分?jǐn)?shù)段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
x∶y | 1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,且與拋物線交于,兩點(diǎn), (為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)(非長軸端點(diǎn)),為左、右焦點(diǎn),的延長線與橢圓交于點(diǎn),的延長線與橢圓交于點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市為鼓勵(lì)人們綠色出行,乘坐地鐵,地鐵公司決定按照乘客經(jīng)過地鐵站的數(shù)量實(shí)施分段優(yōu)惠政策,不超過站的地鐵票價(jià)如下表:
乘坐站數(shù) | |||
票價(jià)(元) |
現(xiàn)有甲、乙兩位乘客同時(shí)從起點(diǎn)乘坐同一輛地鐵,已知他們乘坐地鐵都不超過站.甲、乙乘坐不超過站的概率分別為, ;甲、乙乘坐超過站的概率分別為, .
(1)求甲、乙兩人付費(fèi)相同的概率;
(2)設(shè)甲、乙兩人所付費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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