Question

直線y=kx+1與雙曲線x²-

y2

4

=1只有一個交點，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，化為關(guān)于x的方程，由二次項系數(shù)等于0、二次項系數(shù)不等于0且判別式等于0求解k的取值集合．

解答： 解：聯(lián)立

y=kx+1 x2- y2 4 =1

，得：（4-k²）x²-2kx-5=0  ①．
當(dāng)4-k²=0，即k=±2時，方程①化為一次方程4x=5或4x=-5，
方程有一個實數(shù)根，直線y=kx+1與雙曲線x²-

y2

4

=1只有一個交點，
當(dāng)4-k²≠0時，要使直線y=kx+1與雙曲線x²-

y2

4

=1只有一個交點，
則

4-k2≠0 (-2k)2+20(4-k2)=0

，解得：k=±

5

．
∴使直線y=kx+1與雙曲線x²-

y2

4

=1只有一個交點的k的取值集合是{-2，2，-

5

，

5

}．
故答案為：{-2，2，-

5

，

5

}．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用二次方程的判別式討論方程根的個數(shù)，是中檔題．