Question

已知點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，則下列說(shuō)法中正確的是（　�。�
①3a-4b+10＞0
②當(dāng)a＞0時(shí)，a+b有最小值，無(wú)最大值
③

a2+b2

＞2
④當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，

b

a-1

的取值范圍為（-∞，-

5

2

）∪（

3

4

，+∞）

• A、①③
• B、③④
• C、②④
• D、②③

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,直線的斜率

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，可以畫出點(diǎn)A（a，b）所在的平面區(qū)域，進(jìn)而結(jié)合二元一次不等式的幾何意義，兩點(diǎn)之間距離公式的幾何意義，及兩點(diǎn)之間連線斜率的幾何意義，逐一分析四個(gè)答案．可得結(jié)論．

解答： 解：∵點(diǎn)A（a，b）與點(diǎn)B（1，0）在直線3x-4y+10=0的兩側(cè)，
故點(diǎn)A（a，b）在如圖所示的平面區(qū)域內(nèi)
故3a-4b+10＜0，即①錯(cuò)誤；
當(dāng)a＞0時(shí)，a+b＞

5

2

，a+b即無(wú)最小值，也無(wú)最大值，故②錯(cuò)誤；
設(shè)原點(diǎn)到直線3x-4y+10=0的距離為d，則d=

10

32+(-4)2

=2，則

a2+b2

＞d=2，故③正確；
當(dāng)a＞0且a≠1，b＞0時(shí)，

b

a-1

表示點(diǎn)A（a，b）與B（1，0）連線的斜率，
∵當(dāng)a=0，b=

5

2

時(shí)，

b

a-1

=-

5

2

，又∵直線3x-4y+10=0的斜率為

3

4

，
故

b

a-1

的取值范圍為（-∞，-

5

2

）∪（

3

4

，+∞），故④正確；
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題、直線的斜率計(jì)算公式及其單調(diào)性，考查了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和推理能力，屬于中檔題．