Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+4ax+a²-1
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）當(dāng)x∈[-4，1]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為5，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸方程以及a的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)對(duì)稱軸為x=-2∈[-4，1]，分當(dāng)a＞0和當(dāng)a＜0兩種情況，分別根據(jù)函數(shù)的最大值求得a的值．

解答： 解：（1）∵對(duì)稱軸為x=-2，∴當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，-2]上是增函數(shù)，
在[-2，+∞）上是減函數(shù)．
（2）∵對(duì)稱軸為x=-2∈[-4，1]，
①當(dāng)a＞0時(shí)，fmax(x)=f(1)=a2+5a-1=5，∴a=1，或a=-6（舍去）．
②當(dāng)a＜0時(shí)，fmax(x)=f(-2)=a2-4a-1=5，∴a=2-

10

或a=2+

10

（舍去）．
綜上所述，a=1或a=2-

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．