Question

設函數y=f（x）是定義在R上的函數，并且滿足下面三個條件：（1）f（x）在R上是減函數；（2）f（xy）=f（x）+f（y）；（3）f（3）=-1．
（1）求f（1）和f（

1

3

）的值；
（2）解不等式f（x）+f（x-

8

9

）＜2．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）令x=y=1，x=3，y=

1

3

，即可求得f（1）、f（

1

3

）的值；
（2）根據函數的單調性把函數值不等式轉化為自變量不等式，解不等式即可求得結果．

解答： 解：（1）I）∵函數y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數，
對正數x、y都有f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
則 f（1×1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
令x=3，y=

1

3

，∴f（3×

1

3

）=f（3）+f（

1

3

）
∴f（1）=f（3）+f（

1

3

）
又∵f（3）=-1，
∴f（

1

3

）=1；
（2）令x=y=

1

3

則f（

1

3

×

1

3

）=f（

1

3

）+f（

1

3

），
∴f（

1

9

）=1+1=2
∵f（x）+f（x-

8

9

）＜2．
∴f[x（x-

8

9

）]＜f（

1

9

），
又∵f（x）在R上是單調增函數，
∴x（x-

8

9

）＞（

1

9

）
解得x＞1或x＜

1

9

．
∴原不等式的解集為{x|x＞1或x＜

1

9

}．

點評：考查利用函數單調性的定義探討抽象函數的單調性問題，對于解決抽象函數的一般采用賦值法，求某些點的函數值和證明不等式等，體現了轉化的思想．