【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)若函數(shù)在上有唯一零點,證明:.
【答案】(1)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,極小值為,無極大值(2)見解析
【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并由單調(diào)性得出函數(shù)的極值;
(2)利用參變量分離法得出關(guān)于的方程在上有唯一解,構(gòu)造函數(shù),得出,構(gòu)造函數(shù),求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷導(dǎo)數(shù)的符號,得出函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化即可。
(1)的定義域為,∵,
當(dāng)時,,為減函數(shù);
當(dāng)時,,為增函數(shù),
∴有極小值,無極大值,
故的減區(qū)間為,增區(qū)間為,極小值為,無極大值;
(2)函數(shù)在上有唯一零點,即當(dāng)時,方程有唯一解,
∴有唯一解,令,則
令,則,
當(dāng)時,,故函數(shù)為增函數(shù),
又,,
∴在上存在唯一零點,則,且,
當(dāng)時,,
當(dāng)時,,∴在上有最小值.ly,∴.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)已知函數(shù)在處取得極小值,不等式的解集為,若且求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】A,B兩城相距100 km,在兩地之間距A城x km處的D地建一核電站給A,B兩城供電.為保證城市安全,核電站與城市距離不得少于10 km.已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)λ=0.25.若A城供電量為20億度/月,B城為10億度/月.
(1)求x的取值范圍;
(2)把月供電總費用y表示成x的函數(shù);
(3)核電站建在距A城多遠,才能使供電費用最?
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【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
(1)若不等式的解集是,求此時的解析式;
(2)在(1)的條件下,設(shè)函數(shù),若在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在實數(shù)使得函數(shù)在上的最大值是?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在平行四邊形中,,,以為折痕將△折起,使點到達點的位置,且.
(1)證明:平面平面;
(2)為線段上一點,為線段上一點,且,求三棱錐的體積.
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【題目】如圖,直線()關(guān)于直線對稱的直線為,直線,與橢圓分別交于點A,M和A,N,記直線的斜率為.
(1)求的值;
(2)當(dāng)變化時,直線是否恒過定點?若恒過定點,求出該定點坐標(biāo);若不恒過定點,請說明理由.
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【題目】正項數(shù)列的前項和為,且.
(Ⅰ)試求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè),求的前項和為.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C:過點A(﹣1,),B(),F為橢圓C的左焦點.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點B為直線l1:x+y+2=0與直線l2:2x﹣y+4=0的交點,過點B的直線1與橢圓C交于D,E兩點,求△DEF面積的最大值,以及此時直線l的方程.
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