【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，證明：.

【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值（2）見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并由單調(diào)性得出函數(shù)的極值；

（2）利用參變量分離法得出關(guān)于的方程在上有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，得出，構(gòu)造函數(shù)，求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化即可。

（1）的定義域?yàn)?/span>，∵，

當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，

∴有極小值，無極大值，

故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；

（2）函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，

∴有唯一解，令，則

令，則，

當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)為增函數(shù)，

又，，

∴在上存在唯一零點(diǎn)，則，且，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，∴在上有最小值.ly，∴.

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相關(guān)習(xí)題

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【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

（Ⅲ）已知函數(shù)在處取得極小值,不等式的解集為,若且求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】A，B兩城相距100 km，在兩地之間距A城x km處的D地建一核電站給A，B兩城供電．為保證城市安全，核電站與城市距離不得少于10 km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．

(1)求x的取值范圍；

(2)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)；

(3)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電費(fèi)用最��？

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【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）若不等式的解集是,求此時(shí)的解析式；

（2）在（1）的條件下，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在上的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．

（1）證明：平面平面；

（2）為線段上一點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，直線()關(guān)于直線對(duì)稱的直線為，直線，與橢圓分別交于點(diǎn)A，M和A，N，記直線的斜率為．

（1）求的值；

（2）當(dāng)變化時(shí)，直線是否恒過定點(diǎn)？若恒過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的極值；

（2）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

（Ⅰ）試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）設(shè)，求的前項(xiàng)和為.

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：過點(diǎn)A（﹣1，），B（），F為橢圓C的左焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)B為直線l1：x+y+2＝0與直線l2：2x﹣y+4＝0的交點(diǎn)，過點(diǎn)B的直線1與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，求△DEF面積的最大值，以及此時(shí)直線l的方程．

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