【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.設H1(x)=max,H2(x)=min (max表示p,q中的較大值,min表示p,q中的較小值).記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=(  )

A.16B.-16

C.a2-2a-16D.a2+2a-16

【答案】B

【解析】

先作差得到h(x)=f(x)﹣g(x)=2(x﹣a)2﹣8.分別解出h(x)=0,h(x)>0,h(x)<0.畫出圖形,利用新定義即可得出H1(x),H2(x).進而得出A,B即可.

令h(x)=f(x)﹣g(x)=x2﹣2(a+2)x+a2﹣[﹣x2+2(a﹣2)x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2(x﹣a)2﹣8.

①由2(x﹣a)2﹣8=0,解得x=a±2,此時f(x)=g(x);

②由h(x)>0,解得x>a+2,或x<a﹣2,此時f(x)>g(x);

③由h(x)<0,解得a﹣2<x<a+2,此時f(x)<g(x).

綜上可知:

(1)當x≤a﹣2時,則H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x﹣(a+2)]2﹣4a﹣4,

H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=﹣[x﹣(a﹣2)]2﹣4a+12,

(2)當a﹣2≤x≤a+2時,H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);

(3)當x≥a+2時,則H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x),

故A=g(a+2)=﹣[(a+2)﹣(a﹣2)]2﹣4a+12=﹣4a﹣4,B=g(a﹣2)=﹣4a+12,

∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣(﹣4a+12)=﹣16.

故選:B.

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,;

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