Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，是否存在最小正常數(shù)m，使得a＞m時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，不等式f（a+x）＜f（a）•e^x恒成立？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：將不等式轉(zhuǎn)化為

f(a+x)

ea+x

＜

f(a)

ea

，構(gòu)造函數(shù)g（x），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答： 解：存在，
不等式f（a+x）＜f（a）e^x可轉(zhuǎn)化為f（a+x）＜f（a）e^（a+x-a），
即

f(a+x)

ea+x

＜

f(a)

ea

，當(dāng)x＞0時(shí)恒成立，
設(shè)g（x）=

f(x)

ex

，
則g′（x）=

lnx+1-xlnx

ex

，
令h（x）=lnx+1-xlnx，h′（x）=

1

x

-lnx-1，h″（x）=-

1

x2

-

1

x

＜0，（x＞0）
故h'（x）在（0，+∞）上單減，又h'（1）=0，
∴h（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
又h（1）=1，h（2）=1-ln2＞0，h（3）=1-ln3＜0，
故x＞3時(shí)，g'（x）＜0，即g（x）在（3，+∞）上單減，
故存在m滿足條件，m應(yīng)為方程lnx+1=xlnx的解，數(shù)值在（2，3）中．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式恒成立的判斷，利用條件將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．