Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

（1）若直線的傾斜角為，求的值；

（2）設(shè)直線交直線于點(diǎn)，證明：直線.

Answer 1

【答案】（1）;（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)，根據(jù)圖形可知，直線的方程為，代入橢圓方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，，這樣可求得三角形的面積；（2）設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)三點(diǎn)共線，那么,得到坐標(biāo)間的關(guān)系，若，即說明.

試題解析：由題意，知，．．．．．．．．．1分

（1）∵直線的傾斜角為，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

∴直線的方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

代入橢圓方程，可得．

設(shè)．∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴．．．．．．．．．．．．6分

（2）設(shè)直線的方程為．

代入橢圓方程，得．

設(shè)，則．．．．．．．．．．．．．．．8分

設(shè)，∵三點(diǎn)共線，

∴有，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

而

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

∴直線軸，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分