Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，（n+1）•a_n+1=2（n+2）•a_n，若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則

an+1

Sn

=（　�。�

• A、

  n+1

  n

• B、

  n+2

  n

• C、

  2(n+1)

  n

• D、

  2(n+2)

  n

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列遞推式得到數(shù)列{

an

n+1

}構成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，求出其通項，利用錯位相減法求出S_n，則答案可求．

解答： 解：由（n+1）•a_n+1=2（n+2）•a_n，
得

an+1

n+2

=2

an

n+1

，即

an+1

(n+1)+1

=2

an

n+1

．
∵

a1

1+1

=

2

2

=1，
∴數(shù)列{

an

n+1

}構成以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則

an

n+1

=2n-1，an=(n+1)•2n-1，
an+1=(n+2)•2n．
Sn=2•20+3•21+4•22+…+n•2n-2+(n+1)•2n-1．
2Sn=2•21+3•22+4•23+…+n•2n-1+(n+1)•2n．
兩式作差得：-Sn=2+21+22+…+2n-1-(n+1)•2n
=2+

2(1-2n-1)

1-2

-(n+1)•2n=2+2ⁿ-2-（n+1）•2ⁿ=-n•2ⁿ．
∴Sn=n•2n．
則

an+1

Sn

=

(n+2)•2n

n•2n

=

n+2

n

．
故選：B．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了錯位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．