Question

已知函數(shù)f(x)=(

3

sinωx+cosωx)cosωx-

1

2

(ω＞0)的最小正周期為4π．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過兩角和公式把f（x）化簡(jiǎn)成f（x）=sin（2ωx+

π

6

），通過已知的最小正周期求出ω，得到f（x）的解析式．再通過正弦函數(shù)的單調(diào)性求出答案．
（2）根據(jù)正弦定理及（2a-c）cosB=bcosC，求出cosB，進(jìn)而求出B．得到A的范圍．把A代入f（x）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωxcosωx+cos2ωx-

1

2

=sin(2ωx+

π

6

)，
∵T=

2π

2ω

=4π，
∴ω=

1

4

，
∴f(x)=sin(

1

2

x+

π

6

)，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

](k∈Z)；
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC2sinAcosB=sin（B+C）=sinA
∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

∵f(A)=sin(

1

2

A+

π

6

)，0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

∴f(A)∈(

1

2

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的兩角和公式的應(yīng)用．常與三角函數(shù)中的周期性、單調(diào)性等問題一塊考查，故需熟練掌握三角函數(shù)中的各種性質(zhì)．