Question

設函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx．
（1）過坐標原點O作曲線y=f（x）的切線，求切點的橫坐標；
（2）令g（x）=

f(x)

ex

，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：分類討論,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）設切點為M（t，f（t）），求出導數(shù)，求得切線的斜率，由兩點的斜率公式可得t²-1+lnt=0，進而得到t；
（2）令g（x）=

f(x)

ex

，求出導數(shù)，由題意可得?x∈（0，1]，g′（x）≤0即f′（x）≤f（x），設h（x）=x²-2x+

1

x

-lnx+a（x-1），求出導數(shù)，討論a≤2，a＞2，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷．

解答： 解：（1）設切點為M（t，f（t）），
f′（x）=2x+a-

1

x

，
則切線的斜率k=2t+a-

1

t

，
又切線過原點，則k=

f(t)

t

=2t+a-

1

t

，即t²+at-lnt=2t²+at-1，
即有t²-1+lnt=0，t=1滿足方程t²-1+lnt=0，
由y=1-x²，y=lnx圖象可知x²-1+lnx=0，
有唯一解x=1，切點的橫坐標為1；
（2）令g（x）=

f(x)

ex

，g′（x）=

f′(x)-f(x)

ex

，
若函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，
則?x∈（0，1]，g′（x）≤0即f′（x）≤f（x），
所以x²-2x+

1

x

-lnx+a（x-1）≥0，
設h（x）=x²-2x+

1

x

-lnx+a（x-1），
h′（x）=2x-2-

1

x2

-

1

x

+a=-

(1-x)(2x2+2x+1)

x2

-2+a，
若a≤2，則h′（x）≤0，h（x）在（0，1]遞減，h（x）≥h（1）=0，
 即不等式f′（x）≤f（x），?x∈（0，1]恒成立．
若a＞2，φ（x）=2x-

1

x2

-

1

x

-2，φ′（x）=2+

2

x3

+

1

x2

＞0
φ（x）在（0，1]上遞增，φ（x）≤φ（1）=-2，
?x₀∈（0，1]，使得φ（x₀）=-a，x∈（x₀，1），φ（x）＞-a，
即h′（x）＞0，h（x）在（x₀，1）上遞增，h（x）≤h（1）=0 
這與?x∈（0，1]，x²-2x+

1

x

-lnx+a（x-1）≥0矛盾，
綜上所述，a≤2．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關鍵．