已知等邊三角形PAB的邊長為2,四邊形ABCD為矩形,AD=4,平面PAB⊥平面ABCD,E,F(xiàn),G分別是線段AB,CD,PD上的點(diǎn).
(1)如圖1,若G為線段PD的中點(diǎn),BE=DF=
2
3
,證明:PB∥平面EFG;
(2)如圖2,若E,F(xiàn)分別是線段AB,CD的中點(diǎn),DG=2GP,試問:矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)能否找到點(diǎn)H,使之同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件,并說明理由.
①點(diǎn)H到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)H到直線AB的距離之差大于4;
②GH⊥PD.
考點(diǎn):點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)依題意,E,F(xiàn)分別為線段BA、DC的三等分點(diǎn),取CF的中點(diǎn)為K,連結(jié)PK,BK,則PK∥GF,從而四邊形EBKF為平行四邊形,由此能證明PB∥平面EFG.
(2)連結(jié)PE,分別以EB,EF,EP為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法推導(dǎo)出矩形ABCD內(nèi)不能找到點(diǎn)H,使之同時(shí)滿足:①點(diǎn)H到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)H到直線AB的距離之差大于4,②GH⊥PD.
解答: (1)證明:依題意,E,F(xiàn)分別為線段BA、DC的三等分點(diǎn),
取CF的中點(diǎn)為K,連結(jié)PK,BK,則GF為△DPK的中位線,
∴PK∥GF,
∵PK?平面EFG,∴PK∥平面EFG,
∴四邊形EBKF為平行四邊形,∴BK∥EF,
∵BK?平面EFG,∴BK∥平面EFG,
∵PK∩BK=K,∴平面EFG∥平面PKB,
又∵PB?平面PKB,∴PB∥平面EFG.
(2)解:連結(jié)PE,則PE⊥AB,
∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,
PE?平面PAB,PE⊥平面ABCD,
分別以EB,EF,EP為x軸,y軸,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
∴P(0,0,
3
),D(-1,4,0),
PD
=(-1,4,-
3
),∵P(0,0,
3
),
D(-1,4,0),
PD
=(-1,4,-
3
),
PG
=
1
3
PD
=(-
1
3
4
3
,-
3
3
),
∴G(-
1
3
,
4
3
,
2
3
3
),
設(shè)點(diǎn)H(x,y,0),且-1≤x≤1,0≤y≤4,
依題意得:
x2+(y-4)2
>y+4
,
∴x2>16y,(-1≤x≤1),(i)
GH
=(x+
1
3
,y-
4
3
,-
2
3
3
),
∵GH⊥PD,∴
GH
PD
=0

∴-x-
1
3
+4y-
16
3
+2=0
,即y=
1
4
x+
11
12
,(ii)
把(ii)代入(i),得:3x2-12x-44>0,
解得x>2+
2
42
3
或x<2-
2
42
3
,
∵滿足條件的點(diǎn)H必在矩形ABCD內(nèi),則有-1≤x≤1,
∴矩形ABCD內(nèi)不能找到點(diǎn)H,使之同時(shí)滿足①點(diǎn)H到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)H到直線AB的距離之差大于4,②GH⊥PD.
點(diǎn)評(píng):本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系、空間向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力、空間想象能力,考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法及創(chuàng)新意識(shí).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖,矩形ABCD中,AB=2AD=2,點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上移動(dòng),若
AP
AB
AD
,則λ+μ的最大值是( 。
A、
2
B、
2
+1
C、2
D、
5
+1
2

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sin12°sin48°sin54°=
 

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運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米(x∈[c,100],且0<c<80)的速度勻速行駛m千米(m為正常數(shù)),若汽油的價(jià)格是每升7元,而汽車每小時(shí)耗油(6+
x2
800
)升,司機(jī)的工資是每小時(shí)14元,則這次行車的總費(fèi)用最低時(shí)x的取值為( 。
A、cB、60C、80D、100

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設(shè)0<a<1,函數(shù)f(x)=logax-
3
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+3,求f(x)的定義域,并判斷f(x)的單調(diào)性.

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已知f(cosx)=cos2x,則f(sin
12
)=
 

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下列式子中成立的是(假定各式均有意義)( 。
A、logax•logay=loga(x+y)
B、(logax)n=nlogax
C、
logax
n
=loga
nx
D、
logax
logay
=logax-logay

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已知A、B為圓O:x2+y2=25上的任意兩點(diǎn),且|AB|≥8.若線段AB的中點(diǎn)組成的區(qū)域?yàn)镸,在圓O內(nèi)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)落在區(qū)域M內(nèi)的概率為
 

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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax-lnx.
(1)過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f(x)的切線,求切點(diǎn)的橫坐標(biāo);
(2)令g(x)=
f(x)
ex
,若函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1]上是減函數(shù),求a的取值范圍.

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